Exercice statistiques inférentielle

chloe62380

Bonjour à tous
J'ai un devoir à rendre qui me donne du fil à retordre...
Voici l'énoncé.

Soit X une variable aléatoire dont la loi est donnée par
P(X =1)=P(X =−1)=pX et P(X =0)=1−2pX pour un certain réel (inconnu) pX ∈ ]0;1[. On dispose d’un EASn(X) dont on veut se servir pour estimer pX.

1. (a)  Xn est-il un bon estimateur de pX ?

2. (b)  Peut-on trouver un estimateur sans biais de pX de la forme a + bXn ?

3. (c)  Calculez V(X). À partir de ce résultat, proposez un estimateur sans biais de pX.

4. (d)  Calculez la variance de cet estimateur. Cet estimateur est-il convergent ?

5. (e) Vérifiez que pour tout x ∈ {−1,0,1} on a :
   P(X = x) = p^|x|(1 − 2p )^1−|x|

6. (f) On rappelle que pour un échantillon donnée (x1,...,xn),la vraisemblance associée à cet échantillon est la fonction Ln définie par L n : ]0;1[ −→ ]0;1[, p → Ln(p) = Pp(X1 = x1,...,Xn = xn)
   (i) Montrez que l’estimateur du maximum de vraisemblance de p est P chapeau = (somme des Xi)/2n 2n
   (ii) En remarquant que |Xi| = Xi^2 pour tout i = 1,...,n, que pouvez-vous dire ?

J'ai fait les 2 premières questions, je trouve pour la (a) que E(X)=E(Xn)=0 par conséquent Xn est biaisée ce n'est pas un bon estimateur. Pour la (b) j'ai calculé l'espérance de a+bXn je trouve E(a+bXn)=a donc si a est différent de px alors il n'est pas possible de trouver des coefficients a et b qui formeraient un estimateur de px. 

Pour la suite je n'arrive pas à avancer, je ne parviens pas à trouver l'espérance ...

Merci d'avance.

gerard0

Heu ... tu n'as pas su calculer la variance de X ??

Cordialement.

chloe62380

gerard0
Et bien en utilisant la formule que je connais depuis le lycée j'obtiens V(X)=2px ... mais je ne suis pas totalement sûre de moi et je ne sais pas déduire de ça un estimateur de px. 
En réalité, le contraste entre la difficulté du cours et ces premières questions est important et cela me semblait trop simple de procéder de cette manière.

Merci.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

gerard0

Ben oui, $V(X)=2 p_X$.

Ce qui donne une variable aléatoire liée au choix de l'échantillon pour estimer $p_X$ assez évidente.

"cela me semblait trop simple de procéder de cette manière". L'illusion de l'apprenant : "C'est nouveau donc ça doit être difficile".

Le cours est général, donc est naturellement un peu difficile (mais il faut l'apprendre !). La mise en application n'est pas nécessairement compliquée. Et la suite de ton exercice va te faire utiliser le contenu de ton cours ...

Bon travail !

chloe62380

gerard0. Parfait merci beaucoup pour ça.

En revanche, j'ai du louper une info dans mon cours mais je ne parviens vraiment pas à déduire de cette variance un estimateur sans biais de px...
Auriez-vous une indication à me donner pour me débloquer et que je puisse avancer ?

Merci. 

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

ChristopheC

Bonjour,

Tu as forcément dans ton cours un estimateur sans biais de la variance $V(X)$, duquel tu déduis immédiatement un estimateur sans biais de $p_X$.
Cordialement,

chloe62380

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Effectivement j'imagine qu'il faut utiliser la variance empirique : 

Mais comment déduire de ça un estimateur pour px ?

Merci.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

chloe62380

Je crois qu'en écrivant ma réponse j'ai compris en même temps...
Je dois diviser ça par 2 pour avoir mon estimateur de px c'est bien ça ? 
Merci.

ChristopheC

Oui, c'est bien ça. Par linéarité de l'espérance, tu as directement un estimateur sans biais de $p_X$.

chloe62380

Je vous remercie c'est super j'ai bien trouvé l'estimateur. 
J'ai juste une dernière petite question, pour la (e) est-ce que je peux simplement remplacer x par 1,-1 et 0 et montrer que cela donne bien ce qu'il y a dans l'énoncé ? ou alors il s'agit d'une démonstration plus complexe que ça ?

Merci.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

ChristopheC

Oui, c'est bien cela, il faut simplement vérifier l'égalité avec les trois valeurs de x

chloe62380

Merci beaucoup je vois enfin la fin de ce devoir. 
Cependant il me reste 1 ou 2 questions sur lesquelles je bloque. 
Je n'arrive pas a montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de p est P^ = (somme des Xi)/2n
Auriez-vous une indication à me donner ?
Merci.

gerard0

Tu es sûre que c'est (somme des Xi)/2n ? Comme tu as montré qu'en moyenne la somme est nulle, ça donnerait en moyenne 0, pas p. Ne serait-ce pas plutôt (somme des |Xi| )/2n ? Et la suite en parle de ces valeurs absolues.

chloe62380

gerard0

Oui désolé c’est bien la valeur absolue en effet j’ai oublié de l’ajouter. 

Je ne comprends pas ce que je dois faire sur cette question…
 Merci.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

chloe62380

Bonjour à tous.
J'ai une question concernant un exercice de statistiques. 
Je viens de démontrer dans un exercice que la variance empirique divisée par deux ((Sn^2)/2) était un estimateur sans biais de px.
Je dois à présent calculer la variance de cet estimateur, dans mon cours nous avons admis que : 1
Est-ce que j'ai le droit de dire en m'appuyant sur ce résultat que la variance de mon estimateur (variance empirique/2) vaut la même chose que la variance de la variance empirique mais le tout divisé par 2 ?
Merci. 

gerard0

C'est bien le résultat de cours que tu dois utiliser. Après tout, tu travailles ici sur des variables aléatoires (la variance empirique est une variable aléatoire). Sauf que la variance de $\frac X 2$ n'est pas $\frac{V(X)}2$.

Cordialement.

chloe62380

Parfait merci j'ai bien compris.
J'ai une dernière question svp , pour celle-ci "(ii) En remarquant que |Xi| = Xi^2 pour tout i = 1,...,n, que pouvez-vous dire ?"
Je n'ai absolument aucune idée de quoi faire/dire , auriez-vous une indication à me donner ?
Merci.

gerard0

Heu ... la somme des $|X_i|$ divisée par $n$ ça donne quoi en remplaçant $|X_i|$ par $X_i^2$ ??? Car si tu n'essaies pas de remplacer, la remarque tombe à plat !! Noublie pas que la moyenne est nulle, donc que tu peux soustraire son carré sans rien changer.