Produits infinis de rationnels
Soit $(p_i)_{i\geq 1}$ la suite des nombres premiers ordonnés par ordre croissant ($p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, etc).
Se peut-il qu'il existe une suite d'entiers relatifs $(v_i)_{i\geq 1}$ tels que la suite des produits partiels $\prod_{i=1}^N p_i^{v_i}$ converge vers un irrationnel ?
Si oui, combien en existe-t-il pour ce même irrationnel? (Je pense que ça revient à déterminer toutes les suites $(u_i)_{i\geq 1}$ telles que $\prod_{i=1}^N p_i^{u_i}$ converge vers $1$).
NB: J'ai hésité pour cette question entre Analyse, Arithmétique, Shtam, et S'abstenir. Je ne sais pas dans quelle mesure c'est intéressant ou évident.
Je me dis que la réponse est soit "évidemment non", dans ce cas toutes mes excuses, et sinon c'est probablement très difficile.
Cette question ressemble un peu à celle-ci sur Math.StackExchange, Can the product of infinitely many elements from $\mathbb{Q}$ be irrational ?. La différence est qu'ici la $p$-valuation du produit partiel de rationnels $q_1q_2\dots q_n$ est stationnaire à partir d'un certain rang, pour tout $p$.
Après je bloque.
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Réponses
—fin du délire—
À la réflexion, on doit bien pouvoir adapter cette algorithme à la suite des produits, non ?
Entre 2 termes successifs de cette suite, on a un rapport égal à $P_i^{v_i}$. Ce nombre est soit 'très grand' si $v_i$ est positif, soit, très petit si $v_i$ est négatif, mais il n'est pas proche de 1.
Il peut être égal à 1 si $v_i$ est nul, mais pour que la suite converge vers un irrationnel, il faut une infinité de termes $v_i$ non nuls.
Par contre, on peut modifier un peu la question : $f(n) = \prod_{i=1}^n i^{v_i}$
On prend donc en compte tous les entiers et pas uniquement les nombres premiers.
Et on prend la sous-suite définie par $u_i = f(P_i)$
Par exemple si les $v_i$ valent $1$ pour tous les entiers pairs, et $-1$ pour tous les impairs
$u_1=2$
$u_2=2/3$
$u_3=8/15$
$u_4=48/105$
$u_5=3840/10395$
Et là, on doit pouvoir trouver des solutions pour converger vers le nombre irrationnel de son choix.
Voir par exemple les développements des réels en produits de Cantor, en produits alternés de Cantor, ou en produits négatifs de Cantor
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse