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Équation des sinus/cosinus/etc.

Modifié (December 2021) dans Algèbre
Bonjour,
Les sinus des angles d'un triangle vérifient une certaine équation $x^3 + px^2 + qx + r = 0$.
Quelles sont les équations vérifiées par les cosinus, tangentes ou cotangentes ?
A+
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Réponses

  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Je ne suis pas certain de très bien comprendre.
    À titre d'exemple, je dois me tromper mais j'avoue avoir du mal à trouver un "trouplerationnel $(p, q, r)$ tel que $\sin(\frac{\pi}{5})$ soit solution d'un polynôme unitaire de degré trois (peut-être car ça n'existe tout simplement pas, gné, étant donné que le polynôme minimal est de degré quatre (???)). 
    En soi, j'ai du mal à interpréter ton assertion : tu parles de "sinus des angles d'un triangle", alors pourquoi préciser que ce serait pour un triangle si il ne semble apparaître nulle part une condition liée au fait que la somme des angles d'un triangle vaille $\pi$ par exemple (peut-être juste que la condition est cachée dans des relations entre $p$, $q$ et $r$ mais ça m'étonnerait) ? (Enfin, on n'a qu'une équation et pas trois liées par la condition sur la somme des angles ou que sais-je.) Peut-être que triangle ici sous-entend juste "trigonométrie", je ne sais pas. 

    Dis moi si je me trompe et où.
    Si je ne suis pas totalement à côté de la plaque, j'ai quelques idées (pour le cas où les coefficients seraient rationnels).

    PS: Désolé pour l'utilisation de "trouple", c'est la première chose qui m'est venue en tête.
  • Modifié (December 2021)
    2A31: La question est assez claire. Soient $s_1, s_2, s_3$ les sinus des trois angles d'un triangle, et $c_1$, $c_2$, $c_3$ leurs cosinus. Si $(x-s_1)(x-s_2)(x-s_3)= x^3+px^2+qx+r$, exprimer le polynôme $(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)$ en fonction de $p$, $q$, $r$. Puis pareil avec les tangentes et cotangentes.
    Edit: Après relecture suite au post de gerard0, la question n'était pas si claire que ça effectivement... Mais si l'on sait que Piteux_gore aime les polynômes symétriques, tout s'éclaire.
    Après je bloque.
  • Modifié (December 2021)
    Piteux_gore va encore nous sortir l'équation aux carrés des racines qu'il a trouvé dans des textes anciens.
    Cordialement.
  • Oh là je comprends. Effectivement c'est clair, ce devait être moi qui voulait vraiment partir dans un autre sens, à mon goût plus plaisant (et de fait j'ai totalement dénaturé l'énoncé du problème). Excusez-moi. Je n'avais pas lié les choses ainsi.

    En regardant un peu, le problème a l'air intéressant. J'essaierai de m'atteler au problème (et voir celui que j'avais en tête) dès que possible.
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Pour cosinus, je pars de $\displaystyle x^3+p x^2+ q x + r = 0$, je multiplie par $x$, puis j'élimine le $x^3$ selon ce polynôme, et pour exprimer $x$ selon $x^2$, j'écris $\displaystyle x = -{r+p x^2 \over q+x^2}.$ J'ai alors une expression qui ne dépend que de puissances paires en $x.$ J'écris alors $x^2 = 1- y^2$ puisque $\displaystyle \cos^2 z + \sin^2 z=1$ et le polynôme en $y$ est vérifié par les cosinus : $\displaystyle y^6 + (p^2-2 q-3)y^4 + (q^2+4q+3-2p^2-2pr) y^2 + (p+r)^2-(q+1)^2 = 0.$
  • Modifié (December 2021)
    RE
    De façon plus directe, je procède au changement de variable $x = \sqrt{1 - y^2}$, etc.
    A+
  • Bonjour,

    C'est faux puisque tu ne connais pas le signe de $x.$
  • RE
    Le sinus d'un angle de triangle est toujours positif.
    A+
  • RE
    Question subsidiaire :
    établir l'équation aux cosinus, etc. en supposant que le triangle de référence n'a pas d'angle obtus.
    A+

  • Pour transformer une équation polynomiale $P(x)=0$, on peut procéder différemment : on forme la matrice-compagnon $M$ du polynôme ; ainsi, si $Q$ est un polynôme, le polynôme caractéristique de $Q(M)$ est un polynôme dont les zéros sont les $Q(\lambda)$, où $\lambda$ décrit l'ensemble des zéros de $P$ (et ce avec les bonnes multiplicités).

    Une méthode analogue est possible lorsque $Q$ est une fraction rationnelle.
  • RE
    Ca a l'air intéressant, mais pourrait-on avoir un exemple ?
    A+
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Une question qui se pose naturellement : décrire l'ensemble des $(p,q,r)\in \R^3$ tels que les racines de $x^3+px^2+qx+r$ soient les sinus des trois angles d'un triangle.
  • Modifié (December 2021)
    GaBuZoMeu a dit :
    Une question qui se pose naturellement : décrire l'ensemble des $(p,q,r)\in \R^3$ tels que les racines de $x^3+px^2+qx+r$ soient les sinus des trois angles d'un triangle.
    Si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, une condition nécessaire est que $p^4-4p^2q+8pr+4r^2 = 0$.
  • Je suis bien d'accord pour la condition nécessaire. Mais il y a sûrement des inégalités à ajouter pour la description de l'ensemble.
  • Modifié (December 2021)
    Des encadrements pour $p$, $q$ et $r$ peuvent être obtenus en considérant le triangle équilatéral et le triangle aplati : 
    $$-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \leq p \leq 0,\qquad 0 \leq q \leq \frac{9}{4}\quad\text{et}\quad -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \leq r \leq 0.$$ Mais cela n'est toujours pas suffisant. 
    En ajoutant la condition pour que l'équation ait trois racines réelles cela devrait suffire : 
    $$p^{2} \; q^{2} - 4 \; p^{3} \; r - 4 \; q^{3} + 18 \; p \; q \; r - 27 \; r^{2} > 0.$$
  • Modifié (December 2021)
    L'ensemble des solutions $(p,q,r)$ peut se construire ainsi : on commence par choisir $p$ tel que $-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \leq p \leq 0$ en bougeant le point $P(p,0)$. Le point $R(p,r)$ peut alors varier dans la zone coloriée en orange, délimitée par l'axe des abscisses et la courbe d'équation $x=-2 \; \sin \left( t \right) - \sin \left( 2 \; t \right)$, $y=-\sin ^{2}\left( t \right) \; \sin \left( 2 \; t \right)$, obtenue en considérant l'équation liée à un triangle isocèle : $\left(x-\sin \left( t \right)  \right)^{2} \; \left(x-\sin \left( 2 \; t \right)  \right)=0$. On termine en calculant $q = \dfrac{p^{4} + 4 \; r^{2} + 8 \; p \; r}{4 \; p^{2}}$. 
    Dans cette figure GGB j'ai tracé le triangle à partir des angles déterminés par les trois sinus solutions de $x^3+p x^2 +q x+r=0$.
    Amicalement,
    Ludwig
    [$\LaTeX$ fournit la commande \sin. AD]



  • D'accord avec ce triangle curviligne dans le plan $(p,r)$. On peut regarder à quoi correspondent les bords et les sommets de ce triangle curviligne (Ludwig a déjà partiellement vendu la mèche).
  • Modifié (December 2021)
    Et de façon plus générale : quel est le lieu des points $(p,r)$ pour lesquels le triangle possède un angle $\alpha$ donné ? C'est un arc de parabole, dont on peut trouver l'équation.



  • Cette parabole a pour équation $x \; \left(2 \; \operatorname{sin} \left( \alpha \right) + x \right) + 2 \cdot \frac{y}{\operatorname{tan} \left( \frac{1}{2} \; \alpha \right)} = 0$, que l'on peut utiliser pour déterminer les angles correspondants au point $(p,r)$. Il suffit en effet de résoudre numériquement $p \; \left(2 \; \operatorname{sin} \left( t \right) + p \right) + 2 \cdot \frac{r}{\operatorname{tan} \left( \frac{1}{2} \; t \right)} = 0$, cela est plus efficace et pose moins de problèmes que de résoudre une équation polynomiale de degré trois.
    Un bon dimanche !
    Ludwig
  • Modifié (December 2021)
    Je n'avais pas répondu à Piteux Gore à propos de la méthode que j'ai proposée ci-dessus ! Par exemple, quelle est l'équation aux carrés des solutions de $X^3-3X+2=0$ ? Eh bien, la matrice compagnon de ce polynôme est \[M=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&0&3\\0&1&0\end{pmatrix}\]
    On a \[M^2=\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&3&-2\\1&0&3\end{pmatrix}\] et cette matrice a pour polynôme caractéristique $X^3-6X^2+9X-4$, qui est le polynôme associé à l'équation cherchée.
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