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Paradoxe de Banach Tarski again

Modifié (December 2021) dans Fondements et Logique
Bonjour, je suis désolé de sévir à nouveau sur ce sujet mais il m'obsède. J'ai quelques questions d'abord : peut-on découper la sphère en un nombre défini de morceaux ? Par exemple on impose 148978 morceaux. La sphère, une fois reconstituée, on est bien d'accord que c'est une sphère parfaite, sans "trous" entre les morceaux. Peut-on choisir indépendamment le nombre de morceaux et le nouveau diamètre de la sphère ?
C'est vraiment curieux qu'un axiome aussi intuitif arrive à nous faire prendre des vessies pour des lanternes ...(un pois et le soleil comme disent nos amis (hummm) anglais..
Voilà, si quelqu'un a des commentaires, je suis preneur. J'ai lu le livre de Guinot mais ça me laisse un goût bizarre.
Amicalement.
Jean-Louis.

Réponses

  • Modifié (December 2021)
    Le vrai enseignement du théorème de Banach-Tarski est que nos intuitions sur les volumes sont fausses.
    La géométrie est la mise au propre (formalisation et axiomatique explicites) de préjugés naturels de l'homme au sujet de l'espace (ce sont des ressentis innés car consensuels mais invalidés violemment par la physique de pointe i.e. la relativité et la mécanique quantique; l'évolution a forgé chez les animaux des représentations mentales de leur environnement optimisées pour leur permettre d'accomplir leurs besoins naturels et non pas pour appréhender des échelles auxquelles ils n'accèdent jamais).
    En physique cet énoncé est faux simplement parce qu'on manipule des quantités de matière et non des figures géométriques abstraites.
    J'avais lu une anecdote de Feynman où il remet un matheux à sa place quand il lui raconte la fable surannée du pois chiche et du soleil. Pour le physicien le pois chiche et le soleil sont des objets physiques avec quantités de matière spécifiques et outrageusement différentes et l'idée de pouvoir découper l'un en petit morceaux pour reconstituer l'autre est dans ce cas une aberration évidemment.
    Noter qu'invalider BT est possible à l'aide d'autres choix d'axiomes eux-mêmes discutables quoique crédibles.
  • Bonjour.

    Je crois qu'il faut éviter l'usage du terme "morceaux" dans cette affaire. Car cela suggère que l'on va décomposer la sphere en petites facettes d'aire non nulle, à la façon d'une sphère à facettes pour discothèque. Mais ce n'est pas cela. Les sous-ensembles utilisés sont "sérieusement désagréables" et loin des ensembles sur lesquels s'exerce l'intuition usuelle.

    Cordialement, Pierre.
  • Oui, le nombre de morceaux peut être quelconque, du moment qu'il vaut au moins $5$, résultat montré par Robinson.
  • Les morceaux sont non mesurables, c'est là toute la subtilité qui invalide toute intuition physique qu'on aurait du problème.
  • Les sous-ensembles utilisés ne sont pas mesurables. C'est là toute l'arnaque créée par l'appellation "morceaux" qui en appelle à une intuition physique. Une fois que l'on a suggéré que chaque point va être matérialement déplacé par un petit démon,  cela devient paradoxal. De même, une fois que l'on a suggéré que les morceaux d'une cruche seraient en nougatine, celui qui va essayer d'en manger risque fort de trouver cela paradoxal.
  • Modifié (December 2021)
    Je rebondis sur ce que disent Chalk et pldx1. Perso je n'ai jamais compris ce qu'il y avait de paradoxal là-dedans. Le point crucial est que les "morceaux" n'ont pas d'aire, ni de volume, ce qui nous empêche de faire fonctionner notre intuition géométrique.
    On peut évidemment préférer d'autres modèles. Par exemple, sous AD toutes les parties de $\mathbb{R}^3$ sont Lebesgue-mesurable, donc Banach-Tarski ne marche plus. Mais je me vois mal vivre dans un monde où il n'y a pas d'ultrafiltre non principal sur $\omega$ (ça doit être tristounet) et où le filtre des clos cofinaux est un ultrafiltre (à vrai dire le seul non trivial) sur $\omega_1$. Bien entendu ces opinions "affectives" n'ôtent rien au respect que j'ai pour les gens qui travaillent sur ces modèles.
  • Modifié (December 2021)
    J'en rajoute une couche.
    Il n'est pas très surprenant qu'on puisse transformer un objet en deux fois ce même objet. Les intervalles $[0;2[$ et $[0;1[$ sont en bijection sans pour autant avoir la même longueur, je crois que les mathématiciens  grecs de l'antiquité le savaient déjà. Ce qui est intéressant dans le théorème de Banach Tarski c'est que la transformation se fait par un découpage fini et que le recollement se fait par des isométries, opérations qui doivent préserver la mesure. La solution au "paradoxe" étant que les morceaux n'ont pas de mesures, il n'y a donc pas de contradiction. Le théorème de Banach Tarski n'est donc pas réellement un paradoxe mathématique, c'est surtout un résultat qui heurte l’intuition. 
    À noter que même une isométrie peut transformer un ensemble $A$ en un ensemble $B$ strictement plus gros que $A$ et qu'encore une fois ça n'a rien de surprenant. Prenons par exemple $\N^*$ dans $\R$, si on le translate vers la gauche de $1$ on obtient $\N$, qui contient strictement $\N^*$ et les translations sont pourtant bien des isométries. C'est un peu ce genre de choses qui est utilisé dans le théorème de Banach Tarski. Soit $G$ le groupe libre engendré par $a$ et $b$, on peut décomposer $G$ en $5$ parties disjointes :
    -$\{e\}$, qui ne contient que l'élément neutre
    -$A^+ $ : Les mots qui commencent par $a$
    -$A^- $ : Les mots qui commencent par $a^{-1}$
    -$B^+ $ : Les mots qui commencent par $b$
    -$B^- $ : Les mots qui commencent par $b^{-1}$
    On voit alors que $a^{-1}A^{+} =B^+\cup B^{-}\cup \{e\} $ et pareil pour $aA^{-}$, $b^{-1}B^+$ et $b B^{-}$. On voit donc qu'en multipliant ces quatre parties par des éléments de $G$ on obtient de quoi faire 2 copies complètes de $G$. Le théorème de Banach Tarski va utiliser cette idée en prenant pour $a$ et $b$ deux rotations (donc des isométries) de $\R^3$ qui ne commutent pas. On peut ainsi découper une sphère en 4 morceaux, les tourner et presque obtenir de quoi faire deux sphères identiques à la première. Le 5e morceau est surtout là pour faire joli dans mes souvenirs, la mesure est dupliquée uniquement à l'aide des 4 premiers morceaux.
  • On dit que l'intuition est fondamentale en maths, mais alors là!!! Renart pour ton exemple avec N, c'est un ensemble infini. Or dans BT, le nombre de morceaux est fini. C'est ça qui m'épate le plus....
    Amicalement.
    Jean-Louis.
  • $\N$ est "un seul morceau" dans mon exemple. Si tu veux tu peux le remplacer par $[1;\infty[$, par une isométrie il est envoyé sur $[0;\infty[$.
  • Cette vidéo m'a permis de montrer à mon entourage que l'intuition est facilement trompeuse quand on pense en 3D.
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