Construction des réels

Huyen

Bonjour à tous et à toutes
Cela fait longtemps. J'espère que vous allez bien .
Pour mon cours de Histoire de Maths, je vais faire un exposé en groupe sur la construction des nombres réels et complexes (ma partie sera la construction des nombres réels)
Je viens vers vous pour savoir si vous pourriez me donner les références fiables de la construction des nombres réels par la méthode des suites de Cauchy et de la coupure de Dedekind (pour les nuls). 
J'ai trouvé des explications de construction (sur hist-math.fr et deux, trois vidéos sur youtube :
et https://www.youtube.com/watch?v=ZWRnZhYv0G0) mais ce n'est pas structuré.
Je n'ai pas trouvé les suites de Cauchy pour le nombre pi ou le nombre e ainsi que les coupures de Dedekind correspondantes. Pourriez-vous me donner les pistes ?
Une dernière question, quelle est la différence entre deux méthodes de construction ?
Je vous remercie vivement pour vos retours.
Huyen

lourrran

Tu vas faire un exposé sur la construction des nombres réels. Pour quel public ? collège, lycée, licence, doctorat ?
Avec quelle ligne éditoriale : présenter les étapes importantes, essentielles, ou frimer en parlant d'étapes anecdotiques inconnues de tous ?

Huyen

Salut Lourran
Je te remercie de ton message.
Je vais présenter devant deux professeurs universitaires de maths. J'ai 5 minutes pour présenter les deux méthodes (nous sommes 4 dans le groupe des étudiants DU MEEF, l'un présentera l'histoire des nombres réels, ensuite moi qui présente sa construction, ensuite un autre présentera l'histoire des nombres complexes et à la fin le quatrième présentera la construction des nombres complexes). Après la présentation, il y a des questions.
L'objectif est de correctement présenter les deux méthodes et de pouvoir répondre à des questions liées à la présentation. 
Huyen

ev

Bonsoir Huyen.

Pour $\pi$, ou e, n'importe quelle suite de rationnels qui converge vers ces nombres est une suite de Cauchy de rationnels qui peut servir pour les définir.

Si tu prends $(u_n)_n$ une suite croissante de rationnels qui converge vers $\pi$ et $(v_n)_n$ une suite décroissante de rationnels qui converge vers $\pi$, alors $\left( \{ q \in \Q\mid \forall n \in \N,\ q \leqslant u_n \},\{ q \in \Q\mid \forall n \in \N,\ q \geqslant v_n \} \right)$ est une coupure qui définit $\pi$.

Amicalement,

e.v.

Dom

L’existence de telles suites peut être établie en parlant des développements décimaux (suites liés à l’écriture décimale). En gros, troncature et valeur arrondie à l’excès sont des suites adjacentes. 

Il doit y avoir quelques papiers là-dessus, notamment pour l’agrégation interne, de mémoire. 

JLapin

Huyen a dit :

L'objectif est de correctement présenter les deux méthodes et de pouvoir répondre à des questions liées à la présentation.

Les deux méthodes en 5 min ?

C'est un peu mission impossible, non ?

Pour moi, la différence fondamentale entre les deux est que dans le premier cas, on construit R comme un ensemble quotient (pour garantir la complétude) et dans le deuxième cas, on construit R comme un sous-ensemble de parties de Q ordonné par l'inclusion, ce qui permet de vérifier assez facilement l'axiome de la borne supérieure (mais les propriétés opératoires sont nettement plus difficiles à obtenir).

Huyen

Salut e.v,
Je te remercie de ton message.
Huyen

rémi

Si tu as accès à une BU, je peux te donner deux références que je dois avoir dans ma propre bibliothèque où c'est traité mais pour le moment il est l'heure de partir au bouleau donc plutôt en fin de journée.

Pour ma part, je suis comme JLapin, ça me paraît mission impossible en 5 minutes. Par conséquent, il faudra être solide pour répondre aux questions.

Assurez-vous de travailler ensemble pour ne pas être redondant entre vous.

Chaurien

J'ai souvent cité sur ce forum le livre : H. D. Ebbinghaus & alii, Numbers, Springer 1991, traduction de l'allemand Zahlen, 1983, et traduit en français par François Guénard, Les nombres, Vuibert 1998. Il présente les constructions de $\mathbb R$.

Il y a aussi : R. Brouzet, H. Boualem, La planète $\mathbb R$, Dunod, 2002.

Bonne journée.

Fr. Ch.

Huyen

Bonjour à tou(te)s,

Je vous remercie de votre retour.
J'ai pu emprunter le livre de R. Brouzet, H. Boualem, La planète RR, Dunod, 2002.

Bonne journée,
Huyen

Heuristique

Bonjour Huyen,

Je suis également d'accord pour dire que faire les 2 en 5 minutes paraît compliqué. A ta place, je n'en ferais qu'une, en précisant qu'il existe d'autres constructions (il y en a encore plein d'autres, comme par exemple les fractions continuées ou les suites de Engel).

Un bon livre qui reprend les 2, ainsi que d'autres méthodes est "La Planète $\mathbb{R}$, Voyage au pays des nombres réels" de Brouzet et Boualem. Il se lit relativement bien à tout niveau.

Globalement, chacune des 2 constructions te permet de te faciliter la vie pour certaines propriétés de $\mathbb{R}$, mais on finit toujours par payer l'impôt un jour.

Comme l'a dit JLapin, la construction par Dedekind offre gratuitement les résultats de théorie des ordres comme la totalité ou le théorème de la borne sup. En revanche, on se fait un peu suer sur la partie algébrique pour définir les lois.

La construction par les suites de Cauchy donne gratuitement les propriétés algébriques car tu quotientes ton anneau (chouette, déjà un anneau !) par un idéal maximal (et paf, un corps !). En revanche, la théorie des ordres et le théorème de la borne sup sont un peu casse-pieds à mettre en place. La méthode des suites de Cauchy est souvent mise davantage en avant car il s'agit de la construction usuelle du complété d'un espace.

Je pense que les professeurs apprécieront bien plus le fait d'exposer une construction, en en connaissant les avantages, inconvénients et origine plutôt que 2 ou 3 sans mettre en avant les grandes différences.

Bon exposé !

Heuristique

rémi

Re

Comme les autres, j'allais te proposer "$\text{La planète }\R$".

Tu peux également regarder dans "Analyse mathématique : la maîtrise de l'implicite de Frédéric Testard", plusieurs  construction sont traitées sous forme d'exercices :

> construction par les suites de Cauchy (p.17,18)

> construction par les sections commençantes (p.19,20,21).

Huyen

Bonjour Heuristique et rémi,
Je vous en remercie vivement !!!
Très bonne journée à tou(te)s.

Huyen.

Huyen

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai fait mon exposé hier. Le premier professeur faisait signe d'accord (en hochant sa tête) tout au long de ma présentation sans poser la question, le deuxième me posait la question sur l'origine des suites de Cauchy, donc je n'ai pas de réponse car je préparais à avoir des questions sur la construction des réels . Je vous remercie beaucoup de vos retours constructifs : le livre recommandé est top !!!!

Bonne fin d'annnée à vous,
Huyen