Faulhabernoullade d'automne
Salut
Un exercice de mon cru, inspiré par des lectures récentes. Je ne sais pas trop ce qu'il vaut.
Je note $D$ l'opérateur de dérivation sur $\mathbf Q[X]$, $E$ l'opérateur de translation : $EP(X)=P(X+1)$ et $\Delta:=E-1$, i.e. $\Delta P(X) = P(X+1)-P(X)$. Les trois compères $D$, $E$ et $\Delta$ commutent.
Montrer qu'il existe une paire de polynômes $(\varphi_1, \varphi_2)$ telle que : \[\begin{eqnarray*}X\mathbf Q[X^2] &=& \Delta ( \mathbf Q[\varphi_2] ),\\ \mathbf Q[X^2] &=& \Delta ( \varphi_1\mathbf Q[\varphi_2] ),\end{eqnarray*}\]
et que cette paire est unique si on rajoute les conditions "$\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont unitaires, et $\varphi_2(0)=0$".
Après je bloque.
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Bonjour!
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