Matrice trace nulle (variante d’un classique)

etanche

Bonjour 
$A \in M(n,C)$ avec $tr(A)=0$ 
Montrer qu’il existe $B,C,D \in M(n,C)$ telles que 
$ A = BDC + jDCB + j^2CBD $
où $j$ la racine cubique de l’unité 

Merci.

i.zitoussi

Notons $[A,B] := AB-BA$ et $[A,B,C]:=ABC+\jmath BCA + \jmath^2 CAB$.

On a $[A,B,C]=ABC+\jmath (ABC + [BC,A]) + \jmath^2 (ABC+[C,AB])$, soit, comme $1+\jmath+\jmath^2=0$,

$$[A,B,C] = \jmath [BC,A] + \jmath^2[C,AB].$$

En particulier, $[1,B,C] = \jmath^2[C,B]$ (où $1$ est la matrice identité).

Si on sait que toute matrice complexe de trace nulle peut s'écrire comme un commutateur, on déduit qu'on peut toujours exprimer une matrice complexe de trace nulle sous la forme $[1, B,C]$.