Fonction polynomiale

OShine

Bonsoir,

Je ne comprends pas la preuve car la définition est donnée pour un vecteur $x$ de $E$ et ici $M$ est une matrice.

De quelle base canonique ils parlent ? La base $(E_{ij})$ de $M_n(\R)$ ? 

JLapin

Revois le cours de première année sur les matrices.

igorf

OShine a dit
De quelle base canonique ils parlent ? La base $(E_{ij})$ de $M_n(\R)$ ?

Oui.

OShine a dit
Je ne comprends pas la preuve car la définition est donnée pour un vecteur x de E et ici M est une matrice.

Les matrices forment un espace vectoriel.

OShine

Ok merci je relis le cours de MPSI sur les matrices et je reviens plus tard.

Amédé

Tu peux voir $M_{n}(k)$ comme $k^{n^{2}}$.

OShine

Posons $E=M_{n} (K)$. $E$ est de dimension finie $n^2$. C'est un espace vectoriel.

On a $\forall M \in M_{n} (K) \ \ M=\displaystyle\sum_{i=1}^n displaystyle\sum_{j=1}^n m_{ij} E_{ij}$

Or $\det M = \displaystyle\sum_{ \sigma \in S_n} \displaystyle\prod_{k=1}^n \epsilon(\sigma) m_{\sigma(k)k} $

Or les $m_{\sigma(k)k}$ sont des composants de $M$ dans la base canonique donc $\det M$ est polynomiale.

igorf

Oui. Par exemple, $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$, ce qui est un polynôme en les variables $a,b,c$ et $d$.