Somme des racines d'un polynôme

sylost666

Bonjour, je suis prof de maths en collège mais j'aide un étudiant en classe prépa. Je ne parviens pas à résoudre l'exercice suivant.

Soit $P(X)=X^3+3X-12i$. Soit $x_k ,\ 1\leq k\leq 3$ les racines de $P$. Que vaut $S=\sum_{k=1}^{3} x_k^7$ ?

J'ai essayé plusieurs approches : coefficients/racines, résolution algébrique, factorisation... mais rien n'y fait. Auriez-vous une indication ?

Rescassol

Bonsoir,

On pose $s_1=x_1+x_2+x_3,\quad s_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,\quad s_3=x_1x_2x_3$.

Alors $x_1^7+x_2^7+x_3^7=s_1^7 - 7s_1^5s_2 + 7s_1^4s_3 + 14s_1^3s_2^2 - 21s_1^2s_2s_3 - 7s_1s_2^3 + 7s_1s_3^2 + 7s_2^2s_3$

Tu n'as plus qu'à utiliser les relations entre les coefficients du polynôme et ses racines.

Cordialement,

Rescassol

nicolas.patrois

Pars de $(x_1+x_2+x_3)^7$, ensuite essaie de retrouver dans le développement (petit à petit plutôt que bourrinement) les trois sommes de Rescassol.

JLapin

On peut aussi utiliser la division euclidienne de $X^7$ par le polynôme $X^3+3X-12i$ et se ramener à des calculs un peu plus simples.

Sinon, noter $S_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k$ pour tout $k$ et commencer par exprimer $S_7$ en fonction de $S_5$ et $S_4$ puis $S_5$ en fonction de $S_3$ et $S_2$ puis etc.

bisam

Une autre solution consiste à effectuer la division euclidienne de $X^7$ par $P$, ce qui donne un reste $R=aX^2+bX+c$.

On en déduit que \[S=\sum_{i=1}^3 x_i^7=a\sum_{i=1}^3 x_i^2+b\sum_{i=1}^3 x_i+c\sum_{i=1}^3 1\]Il ne reste qu'à calculer $\sum_{i=1}^3 x_i^2$ et $\sum_{i=1}^3 x_i$ à l'aide des relations coefficients-racines, plus précisément à l'aide de $s_1$ et $s_2$ ci-dessus.

Chaurien

Soit $S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n$. Alors $S_0=3$, $S_1=0$, $S_2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_1)=-6$.

On a :  $S_n+3S_{n-2}-12iS_{n-3}=0$ pour $n \ge 3$, et avec cette formule de récurrence, on calcule successivement $S_3$, $S_4$, ..., $S_7$.

YvesM

Bonjour,

La méthode de Chaurien est la bonne. 

On part du polynôme donné, par exemple, $a X^2+b X +c =0$ et on multiplie par $X$ avant de sommer parmi les racines ; puis par $X^2$… jusqu’à atteindre la puissance voulue. 

Guego

Encore une autre : $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont les valeurs propres de $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 12i \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$. Ainsi, $x_1^7+x_ 2^7+x_3^7 = Tr(A^7)$, qu'il n'y a plus qu'à calculer.

sylost666

Merci pour toutes vos réponses, je pense qu'avec la méthode de Chaurien je vais aboutir. Mine de rien beaucoup de calculs pour un exo apparemment anodin.

Petite question subsidiaire : est-il illusoire de vouloir trouver les racines du polynôme ? Pour moi il n'y a pas de méthode explicite, mais je peux me tromper.

Guego

Il y a la méthode de Cardan pour trouver les racines (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan), mais ici, ça risque de donner des formules très moches et donc inutilisables en pratique.

JLapin

Méthode de Cardan ou racine évidente pour trouver les racines.

Sinon, les calculs ne sont pas si horribles en fait.

Sauf erreurs, on a

$S_1=0, S_2=-6, S_3=36i, S_4=-3S_2=18, S_5=-3S_3+12iS_2=-5\times 36i$ et $S_7=-3S_5+12iS_4=21\times 36i$.

Chaurien

La relation de récurrence pour les $S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n$ est même valable pour les $n$ entiers négatifs, et permet de calculer $S_{-1},\ S_{-2},\ldots$

sylost666

Oui JLapin je trouve la même chose.