Multiplier deux encadrements

s7

Je voudrais savoir si je pourrais multiplier deux encadrements membre à membre avec 4 réels négatifs en changeant le signe de l'inégalité?

JLapin

Multiplie toutes tes inégalités par -1, puis tes inégalités (entre termes positifs) entre elles puis regarde ce que tu obtiens.

s7

Je crois que c'est le même résultat quand je multiplie directement en changeant le sens de l'inégalité, est-ce que je me trompe?

JLapin

Les opérations que j'ai proposées pour vérifier ton résultat ne sont pas compliquées à mettre en œuvre donc j'imagine que tu ne te trompes pas.

s7

Si a <x< b<0 et c<y<d<0 donc -b<-x<-a et -d<-y<-c alors db <xy< ac. 
Donc, si a<x<b<0 et c<y<d<0 alors, ac>xy>bd. 

Dom

Voilà. Tu viens de faire des maths. 

Attention toutefois tu as oublié d’écrire l’argument le plus important. Le fait qu’à un moment, les nombres mis en jeu sont strictement positifs. 

On attendait notamment $0<-b …$ dans les inégalités. Cela doit suffire (j’entends : on peut se passez de l’écrire en français mais il faut au moins que ça apparaisse dans les inégalités). 

Une remarque : tu as bien mis des « si », « alors », « donc ». 

Dans l’ordre tu as écrit : si, donc, alors, puis donc, si, alors. 

J’aurais plutôt écrit : si, alors, donc, puis comme tu as fait. 

s7

J'ai précisé que b<0 donc c'est clair que -b>0. Je sais très bien que je peux multiplier membre à membre quand les 4 réels sont positifs, mais je voudrais savoir si je peux faire la même chose dans le cas où les 4 réels sont négatifs en changeant le sens de l'inégalité.

Dom

Je suis tatillon, mais justement « c’est clair que » était le plus important et on ne le voyait pas. 

Bon on se fiche de mon zèle. 

Tu as démontré un théorème. 

As-tu un doute dans ta démonstration ?
Ton théorème dit exactement ce que tu voudrais, non ?

s7

oui, mais quand je regarde des vidéos  concernant la multiplication de deux encadrements on exige toujours que les 4 réels soient positifs personne n'a fait la remarque que c'est possible aussi si les 4 réels sont négatifs bien sûr en faisant attention au sens de l'inégalité.

Dom

Je suis d’accord. 

Il faut après se demander si ce théorème doit être répandu, s’il est très très utile ou s’il est juste pertinent de temps en temps. L’important est de savoir le démontrer. 

Comme ça se fait en une ligne… on peut entendre celui qui dirait « inutile d’apprendre un nouveau théorème, un théorème de plus, pour si peu de coût ». 

En effet l’avantage d’un théorème est de passer du « si » au « alors » en économisant des lignes, parfois des pages. 

s7

Je suis bien d'accord avec vous. Merci pour votre aide. 

JLapin

s7 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2330863/#Comment_2330863sens de l'inégalité.

Nuance : dans les vidéos que tu as regardées, personne n'a fait cette remarque.

Ça ne veut pas dire que le résultat est faux ni que personne ne le signale dans son cours ou ne l'utilise de temps en temps.

Au passage, voici une autre "optimisation".

Soit $a,b,c,d$ quatre réels tels que $a\leq b ,\  c\leq d,\ c\geq 0$ et $b\geq 0$.

Alors $ac\leq bd$.

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

s7

Merci, mais je crois que vous avez fait une faute de frappe: $c\geq 0$ et $a\geq 0$

JLapin

Non, ça fonctionne bien avec mes hypothèses.