Matrices

etanche

Bonjour 

$A,B \in M(n,C)$ avec $A^3+B^3=0, AB - B^2A^2 =I_n$ 

Montrer que $BA - A^2B^2 = I_n$ 

Merci 

Niveau MPSI/PCSI 

JLapin

On pose $M=\begin{pmatrix}A&B^2\\B^2&-A\end{pmatrix}$ et $N=\begin{pmatrix} B&-A^2\\-A^2&-B\end{pmatrix}$.

L'énoncé fournit $MN=I_{2n}$ donc $NM=I_{2n}$ puis le résultat souhaité.

etanche

@JLapin 20/20 

gebrane

Un bonus @etanche

Si $n=2$, montre que $A^6=I_n$ et $AB-BA$ est  nilpotente.

Si $n>2$ est-ce que $AB-BA$ est nilpotente ?