Somme et différence d'intervalles

visual77

Bonjour
je suis à la recherche d'un support de cours sur la somme et la différence de valeurs comprises dans des intervalles.
Exemple : soit x appartenant à l'intervalle (2 ; 10] ; soit y appartenant à l'intervalle [-2 ; 5] calcul de x+y et de x-2y.

lourrran

Ici, des gens peuvent t'aider. 
Sur l'exemple que tu proposes, x+y est un nombre.  Forcément. On ne peut pas savoir la valeur précise de ce nombre, il y a plein de résultats possibles, puisque aussi bien x que y peuvent prendre plein de valeurs.

Et justement, d'après toi, c'est quoi la '''liste''' des valeurs possibles pour x+y ? (je mets le mot liste entre guillemets, volontairement).
Et pareil pour x-2y ... tu en penses quoi ?

Dom

D’accord avec lourrran, et j’ajoute que savoir traduire des notations comme la suivante pourra être utile : 

quel que soit le réel $x$,
$x\in ]4;6]$ signifie que $4<x\leq6$ 

visual77

bonjour 
merci pour votre aide
pour moi la somme x+y peut prendre des valeurs comprises dans l'intervalle [0; 15] pour ce faire j'ai fait la somme des bornes inférieures puis des bornes supérieures.
pour x- 2y  je calcule les bornes de l'intervalles -2y soit [-10;4] puis je fais la somme avec les bornes  de l'intervalle de x soit [8;14].
mon raisonnement est intuitif et  j'aimerais le consolider, s'il est juste, par un support théorique.peut on toujours appliquer ce raisonnement  d'ajout des bornes inférieurs et supérieurs; Existe t'il des cas où cela est impossible. peut on faire la même chose avec la multiplication. 

gerard0

Bonjour.

On peut démontrer tout ça facilement avec les définitions d'intervalles par les inégalités et le propriétés basiques des inégalités : 

$a<b$ et $c<d \ \Rightarrow \ a+c<b+d$ (et les propriétés analogues avec une ou deux $\leq$)

$c<d \ \Rightarrow \ -c>-d$

$c\leq d\ \Rightarrow \ -c\geq-d$

Dom

Il suffit de connaître les théorèmes élémentaires sur les inégalités. Le symbole $<$ peut être changé en $\leqslant$ dans ces théorèmes. 

1) quels que soient les réels $a$, $b$ et $c$,

$a<b \Rightarrow a+c<b+c$

2) quels que soient les réels $a$, $b$ et quel que soit le réel $c$ strictement positif,
$a<b \Rightarrow a\times c< b\times c$

3) quels que soient les réels $a$ et $b$,
$a<b \Rightarrow -b<-a$ 
Remarque : c’est personnel, mais j’ai toujours préféré n’utiliser que les symboles $<$ et $\leqslant$ (en évitant $>$ et $\geqslant$). 

Édit : oups, Gérard a été plus rapide. 

visual77

et pour les multiplications ?

visual77

je n'avais pas vu que la multiplication était traitée;

visual77

Merci c'est clair, avez-vous une référence de site qui traite le sujet ?

lourrran

La multiplication est un peu plus compliquée à traiter... il y a un petit 'piège'.   Et la division encore un peu plus difficile.
Je dis 'difficile', mais il suffit d'être vigilant, méthodique. Une fois les petits pièges identifiés, c'est très facile de ne pas se tromper.

C'est quoi d'après toi, les pièges dont je parle ?

Chaurien

Que signifie $(2;10]$ ?

visual77

de manière intuitive je pense à l'impact de (-)*(-) donne (+) mais j'ai du mal à le formaliser
si par exemple x et y ont leurs bornes inférieures négatives et leurs bornes supérieures de signe opposé le produits des bornes inférieures donne un nombre positif et le produit des bornes supérieures un nombre négatif donc problème ..
petite question : comment faites vous pour introduire des symboles mathématiques dans la discusion

lourrran

Oui,  le 'piège', c'est quand il y a des nombres négatifs.
Donc il faut traiter les différents cas séparément ; on parle des intervalles [a,b] et [c,d]
Que se passe-t-il si les 4 nombres a, b,c,d sont tous positifs ? S'ils sont tous négatifs ? Si certains sont négatifs et d'autres positifs ... 

Pour mettre des symboles , il faut taper la formule .. et ajouter un symbole dollar avant et après la formule :  £a<b£     mais en remplaçant les livres par des dollars. Et pour les symboles $\sum$ , $\ge$ etc , il y a des tutoriels sur LaTex.

Dom

Tu peux aussi cliquer-droit sur les formules avec symboles pour avoir leurs codes « show maths… ». 

gerard0

Pour un  support de cours sur ce sujet, voir les premiers chapitres d'un cours de seconde des années 1980. Mais il n'y aura pas grand chose de plus que ce qui a été déjà dit ici.

Pour des situations plus compliquées, c'est la notion de sens de variation d'une fonction qui va devenir opérationnelle.

Cordialement.

visual77

merci