Un processus continu à valeurs entières est-il une martingale ?

volatile

Je lis un papier où je n'arrive pas à démontrer rigoureusement certains résultats énoncés par l'auteur. Toute aide serait appréciée.

Soit $M_t$ un processus adapté, et presque sûrement borné qui pend ses valeurs dans $\mathbb{N}$.

On définit: $P_t^i=\mathbb{E}[M_{\tau_i}\mid \mathcal{F}_t]$, où les temps d’arrêt  $\tau_{1},\ldots,\tau_{n}$ sont les instants où le processus change de valeur, i.e.

$\tau_{1} = \inf \{ u>t\mid M_u-M_{u^{-}} \neq 0\}$

et

$\tau_{i+1} = \inf \{u>\tau_i\mid M_u-M_{u^{-}} \neq 0 \}$.

L'auteur affirme que le processus $P_t^i$ est une martingale jusqu'au temps d’arrêt $\tau_i$ ("up to stopping time $\tau_i$" dans le texte). Comment le montrer rigoureusement ?

Maintenant, il dit que si cette limite existe$P_t = \lim_{i\to\infty}{P_t^i}$ alors c'est une martingale. Pourquoi ?

Merci de votre aide