Problème de Gebrane-Malot-Boecien

P.

Dans  les profondeurs du sous forum 'vie du forum' le joli problème de Boecien, initié par Philippe Malot, mérite plus de visibilité. Il est demandé pour $m$ entier $\geq 2$ la somme $S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\{m^ne^{1/m} \ n!\}}{n!}.$ En s'appuyant sur $n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{s^k}{k!}=e^s\int_{0}^se^{-t}t^ndt$ et avec la notation $a\equiv b$ pour dire que $a-b$ est entier, on en déduit que si $n\geq 1$

$$m^ne^{1/m}n!\equiv n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^kk!}=e^{1/m}m^n\int_{0}^{1/m}e^{-t}t^ndt=e^{1/m}\frac{1}{m}\int_{0}^{1}e^{-u/m}u^ndu=\{m^ne^{1/m}n!\},$$ la dernière égalité venant de $e^{1/m}\frac{1}{m}\int_{0}^{1}e^{-u/m}u^ndu<\frac{e^{1/m}}{m(n+1)}<1.$ D’où $S=e^{1/m}\int_0^1(e^u-1)e^{-u/m}du.$

Boécien

Bonjour P. merci pour ce "up". J'avais considéré une variante. Pour $m\geq2$ entier j'ai trouvé sauf erreur.

$$\sum_{n\geq0}\frac{\left\{ m^{n}e^{1/m}n!\right\} }{n!m^{n}}=\frac{e^{1/m}}{m}.$$

Pour ta somme (je la fais partir de zéro) je trouve plutôt sauf erreur :

$$\sum_{n\geq0}\frac{\left\{ m^{n}e^{1/m}n!\right\} }{n!}=\frac{e-e^{1/m}}{m-1},$$

ce que ton intégrale ne redonne pas. Il faut donc un arbitre !

Boécien

On peut proposer le problème plus général suivant. Pour $p\geq2$ et $q\geq1$ des entiers distincts on a sauf erreur grossière

$$S(p,q)=\sum_{n\geq0}\frac{\left\{ p^{n}e^{1/p}n!\right\} }{n!q^{n}}=\frac{q}{q-p}\left(e^{1/p}-e^{1/q}\right)$$

et pour $q=p$$$S(p,p)=\sum_{n\geq0}\frac{\left\{ p^{n}e^{1/p}n!\right\} }{n!p^{n}}=\frac{e^{1/p}}{p}$$

gebrane

. 

P.

Boecien tu as raison sur toute la ligne. A dire vrai, il manquait un simple $1/m$ a ma somme $S,$ et ainsi corrige $S$  coincide avec ton resultat (en ajoutant la valeur en zero pour qu'on parle de la meme chose). Pour moi une occasion de brailler, car des que je me suis apercu du coefficient manquant il m'a ete impossible de corriger comme on savait le faire sur l'ancien forum et cliquant sur 'modifier'. Et bravo pour ta jolie generalisation $(p,q).$

Et quelle est l'aimable personne qui m'apprendra comment modifier (pas seulement en tapant le message, mais plusieurs heures, jours, mois apres) ?

Philippe Malot

Bonjour @P.,
Tu peux modifier ton message en cliquant sur la petite roue dentée qui se trouve en haut à droite de ton message.

gerard0

Bonjour P.

Je viens d'essayer de modifier une des mes messages, datant du 27 novembre. Aucun problème, en cliquant sur la petite roue en haut à droite (pneu neige ? engrenage ?) qui donne accès à "Modifier".

Cordialement.

P.

Merci Ph. et G.

Boécien

Moi aussi j'ai mis du temps à voir la petite roue dentée qui est très pratique. Sinon pour S(p,q) q peut en fait prendre toute valeur réelle non nulle.

etanche

@P et Boécien on n'arrive pas à lire les formules de maths.

jandri

Je préfère faire commencer la somme à $1$ car on obtient une symétrie inattendue.
Si $S(p,q)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left\{ p^{n}e^{1/p}n!\right\} }{q^{n}n!}$ avec $p$ et $q$ dans $\N^*$ on a : $S(p,q)=\displaystyle\sum_{n\geq1,k\geq1}\frac1{p^kq^n(n+k)!}=S(q,p)$
Pour $p\neq q$ on obtient $S(p,q)=1-\dfrac{(p\, e^{1/p}-q\, e^{1/q})}{p-q}$ et pour $q=p$ : $S(p,p)=1-\left(1-\dfrac1p\right)e^{1/p}$. 
En particulier, $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\{e\lfloor x\rfloor!\}}{\lfloor x\rfloor!}dx=S(1,1)=1$.

P.

Clap, clap, clap.