Un lemme en théorie de la mesure

Riemann_lapins_cretins

Bonjour
Je cherche une preuve de ce lemme.

Lemme. Soit $f$ une fonction intégrable de $I$ un segment de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}^{n}$.
Alors l'ensemble des intégrales de $f$ prises sur tous les sous-ensembles mesurables $A$ inclus dans $I$ est convexe.

Merci à vous.

gebrane

Merci pour cette question. Je ne sais [pas] par quoi commencer aussi.

raoul.S

Je ne sais pas si ce que je vais dire est "overkill" mais l'application $A\mapsto \int_A fdx$ est une mesure vectorielle à valeurs dans un espace de dimension finie. Or il existe un théorème de Lyapunov qui dit que l'image d'une telle application est un convexe compacte.

Ce n'est pas facile de trouver une preuve, il y a un document ici https://www.pnas.org/content/pnas/91/6/2145.full.pdf
J'en poste un autre (je n'ai pas de références) que j'avais mis de côté il y a quelques années, c'est le théorème 6 (page 6)

PS : les mesures signées $\mu_1,\ldots,\mu_n$ dont parle le document sont données dans ton cas particulier par les applications $A\mapsto \int_A p_j\circ f dx$, où les $p_j$ sont les projections.

gebrane

@raoul.S  c'est de l'overkill  ( =exagéré) de démontrer un lemme en utilisant un théorème très sophistiqué plus général.

MrJ

Il me semble qu’on peut de montrer qu’une partie $C$ de $\R^n$ est convexe si et seulement si $\varphi(C)$ est un intervalle pour toute forme linéaire $\varphi:\R^n\to\R$.

Ne pourrait-on pas utiliser cette propriété pour se ramener au cas où $n=1$?

Ma première affirmation me paraît très fausse après réflexion…. Désolé pour le bruit.

Calli

Bonjour,
Un cercle dans $\Bbb R^2 $ est un contre-exemple à ce que tu dis MrJ. 

MrJ

@Calli : Oui, je me suis rendu compte de la stupidité de mon affirmation juste après avoir posté.

raoul.S

@gebrane soit https://giphy.com/gifs/rambo-TBOvwBGkQShnq/fullscreen

Riemann_lapins_cretins

Merci beaucoup pour le lien Raoul.

Effectivement la preuve est tout sauf triviale (du Radon-Nikodym -enfin, pas dans mon cas particulier mais modulo cet ajout la preuve est la même-, du Krein-Milman, du dual de $L^{1}$...), mais elle est jolie (bien vu de voir l'ensemble comme l'image de la boule unité de $L^{\infty}$ par l'évaluation en les mesures).

Pour l'histoire le lemme m'était nécessaire en théorie du contrôle pour montrer que l'ensemble des points accessibles en temps T d'une EDO linéaire contrôlée par des fonctions u à valeurs dans un compact est convexe. Si la preuve est facile si le compact est lui-même supposé convexe, le résultat vaut même sans cette hypothèse (et ce n'est pas intuitif).
Une propriété puissante puisque la théorie peut alors supposer que les contraintes sur les contrôles sont convexes dans tous les cas.

raoul.S

RLC content que ça ait pu t'être utile.

Ce document était dans un de mes dossiers où j'avais recueillis plusieurs PDF sur la convexité. J'avoue n'avoir jamais lu la preuve...