Distribution de deux rangs dans un jeu de cartes

df

Bonjour,
n’étant pas du tout familier avec cette partie du forum, j’espère que ce problème (soumis à votre sagacité) n’a pas déjà été traité ici !

Dans un jeu de 52 cartes, on choisit deux hauteurs distinctes (par exemple (5, Dame) ou (Roi, Valet)).

On note $S$ la séparation d’une paire formée par les hauteurs désignées, c’est-à-dire le nombre de cartes qui les sépare.
On note $s$ la plus petite séparation parmi celles des $16$ paires distinctes de deux hauteurs.

Dans un jeu de $52$ cartes bien mélangées, on choisit deux hauteurs.
Quelle est la probabilité $\mathbb{P}(S \geq s)$ pour qu’elles soient séparées par au moins $s$ cartes.
Calculer $\mathbb{P}(S=s)$.

lourrran

???? Tout cela est plein de choses bizarres.  Il va falloir décrypter tout ça.

Pourquoi 16 paires distinctes de 2 hauteurs ? 
D'où vient ce 16 ?

On choisit une carte  = on choisit un nombre $a$ entre 1 et 13
On choisit une 2ème carte = on choisit un 2ème nombre $b$ entre 1 et 13, différent du premier.
S=abs(b-a-1)

$s$= la plus petite séparation ...  J'ai tiré 2 cartes , par exemple roi et Valet. Entre roi et Valet, il n'y a que Dame. Donc S=1.
Et comme j'ai une seule valeur de S, pour un tirage donné, s=S
Ou alors s est la plus petite séparation possible , tous tirages confondus, et donc s=0
Du coup 
P(S>=s) : cette probabilité vaut 1, puisque s=0
Calculer P(S=s) = Probabilité que les 2 cartes tirées se suivent immédiatement  = assez simple à calculer.

df

lourran,

on choisit deux hauteurs; disons Roi et Valet avec $s=3$.
Dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité pour qu’un Roi et un Valet soient toujours séparés par au moins $3$ cartes ?
il doit y avoir au moins $3$ cartes entre le valet de trèfle et le roi de carreau, entre le valet de pique et le roi de cœur etc… $16$ cas envisagés.

Si on choisit $s=0$, il y a au moins un valet et un roi adjacents dans le jeu.
En gros, la difficulté consiste à dénombrer les cas favorables.

lourrran

Ok, je n'avais rien compris.
C'est plus clair maintenant, mais je pense que dans tes notations, tu navigues un peu à vue entre s minuscule et S majuscule... 
Je ne vais donc pas utiliser s du tout , mais E comme Ecart

On a nos 52 cartes, parfaitement mélangées. On choisit 2 niveaux , par exemple roi et Valet  (j'avais déjà mal interprété ici, les 2 niveaux en question ne sont pas tirés par hasard, ils sont choisis avant de commencer l'expérience).
Ensuite, on mélange les cartes parfaitement. 
On étale les 52 cartes sur la table, on numérote chaque carte de 1 à 52.
On repère où sont les 4 rois $(R_1, R_2, R_3, R_4)$ et où sont les 4 valets $(V_1, V_2, V_3, V_4)$
Ces 8 nombres sont des nombres entre 1 et 52, tous différents 2 à 2, évidemment.

On calcule $E = min ( abs ( R_i-V_j)-1 )$
Par exemple, si un Roi est juste avant ou juste après un valet, on trouve E=0
Et si les 4 rois sont aux 4 premiers emplacements, et les 4 valets aux 4 derniers emplacements, E=44, c'est la valeur maximale possible.

Et la question, c'est en gros de trouver la loi de probabilité de E. 
E est un nombre entre 0 et 44.
Quelles sont les 45 probabilités associées aux 45 résultats possibles ? P(E=0) , P(E=1) ... P(E=44)

Ou, sans décomposer et calculer les 45 cas, tu t'intéresses à une synthèse : P(E<=2)  versus P(E>=3).
Mais de toutes façons, pour calculer cette synthèse, on n'y coupera pas, on devra calculer P(E=0),P(E=1) et P(E=2)

Déjà, avant de faire les moindres calculs,  est-ce qu'on est d'accord sur la question ? Est-ce qu'on est d'accord sur le cas E=44 ... 

Ensuite, les calculs :
P(E=44) ... ça c'est un calcul facile.  On peut commencer par ce calcul là, à titre d'échauffement.
Pour les autres calculs, il faut beaucoup réfléchir. Pour alimenter tes réflexions, ça a l'air de se rapprocher du 'principe des tiroirs'... mais à vérifier quand même.

df

Oui c’est bien présenté !
Effectivement, j’aurais dû préciser que les hauteurs sont choisies au préalable ! 

Une fois les deux hauteurs (ou « rangs » ou encore « niveaux » si tu préfères) sélectionnées une bonne fois pour toutes, le reste des $44$ cartes n’a plus d’importance si bien qu’on peut considérer qu’on travaille avec $4$ cartes rouges, $4$ cartes vertes et $44$ cartes bleues par exemple.

En effet, l’exercice revient à étudier la loi de probabilité de $E$ tel que tu l’as définie.

Les notations sont un peu ambiguës. J’aurais dû les remanier (elles proviennent d’un exercice rédigé en anglais).

lourrran

Reste une dernière question ... tu veux un ordre de grandeur pour cette loi de probabilités, ou tu veux des valeurs précises, quelque chose du genre P(X=1) = (47!/4!) *(46!/3!) * (45! /2! ) / 52!  
J'ai mis une formule complètement au hasard ... tellement au hasard que ça donne un nombre plus grand que 1.... mais tu vois l'idée.

Si une estimation te suffit, une simulation informatique, ou un calcul avec quelques impasses, c'est jouable.
Si tu veux une formule explicite comme celle ci-dessus, il va falloir croiser les doigts et espérer que des gens plus compétents que moi passent par là.

Calcul de P(E=0) ... si on se contente d'une approximation.
On regarde où sont les 4 rois, on regarde les places voisines des 4 rois. En général, ou plutôt dans le cas idéal, ça donne 8 places voisines, sauf si un roi est en position 1 ou en position 52, ou sauf si 2 rois se suivent. Dans ce cas, on n'a plus que 7 places voisines, voire 6, voire encore moins.
Quand tout va bien, on a 8 cases 'voisines des rois', et quand tout va très mal , il y  a 3 voire 2 voire très exceptionnellement 1 seule case 'voisine des rois'.
Je fais une vague approximation, je considère qu'en moyenne, il y a 7 places voisines des rois.  Rigoureusement, il faudrait traiter chacun des cas, et calculer les probabilités pour chacun des cas. 
Ensuite, quand on sait combien de cases sont directement voisines des rois, c'est quasiment fini.
Quelle est la probabilité que les valets n'occupent aucune des 7 places en question ? 41/48*40/47*39/46*38/45 
Quelle est la probabilité qu'au moins un valet soit voisin d'un roi, c'est l'événement complémentaire : 1-41/48*40/47*39/46*38/45

Et donc, P(E=0) vaut environ 0.48  Mais il y a tellement d'approximations dans mon approche, que c'est peut-être 0.47 ou 0.49 !

df

Il faut une formule explicite pour la probabilité $\mathbb{P}(E \geq s)$ et si possible une forme close pour $\mathbb{P}(E=s)$. 

Ce dernier point peut se révéler fastidieux. L’originalité de l’exercice consiste à proposer une approche plus facile.