Calculer $f(n)a_{n}\to \ell$ avec $n\to +\infty$

evariste21

Bonjour,
$\textcolor{red}{Exercice}$. Soit,

• $a_{1}\in \mathbb{R}_{+}^{*}$.
• $a_{n+1}=\ln(1+a_{n})$.

Prouver que $\quad\displaystyle \lim_{n\to+\infty}n\cdot a_{n}=\ell\in \mathbb{R}\ $ et trouver $\ell$.
Par le théorème du point fixe, nous voulons trouver un $x$ tel que $\ x=\ln(1+x)$.
Soit $x\mapsto f(x)=\ln(1+x)$, alors $x\mapsto f'(x)=\frac{1}{1+x}$ avec $f'(x)\geq 0$ sur ${\rm D}_{f}=]-1;+\infty[$. 
$$f'(x)<1,\quad x\in ]0;+\infty[,\quad f'(x)>1,\quad x\in\, ]{-}1;0[$$ $$\implies x_{0}=0 \quad \text{point fixe}$$ $$\implies \lim_{n\to +\infty} a_{n}=0.$$Toute correction est la bienvenue.

Comment puis-je avancer à partir de là ?

Il est possible de donner une certaine généralisation pour $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(n)a_{n}$ avec une hypothèse appropriée sur $f $?
Merci.

JLapin

Tes preuves sont étranges.

Pour chercher les points fixes de $f$, tu devrais plutôt étudier les variations de $x\mapsto \ln(1+x)-x$.

Ensuite, tu peux essayer de montrer que $a_n\to 0$ en utilisant le théorème de limite monotone.

Enfin, tu peux chercher un équivalent simple de la suite $(a_n)$ en cherchant un exposant $\alpha\in \R$ tel que $(a_{n+1}^\alpha - a_n^\alpha)$ soit une suite convergente vers un réel non nul puis en utilisant le théorème de Cesàro.

gebrane

evariste21, ta rédaction laisse à désirer  .

Tu peux démontrer que la suite (a_n) est minorée et décroissante $(\ln(1+x)\le x)$,

donc elle converge vers le point fixe de $f(x):=\ln(1+x)$ égale évidement à 0.

Tu peux démontrer facilement que $l=2$ par le théorème de Stolz https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem#Statement_of_the_theorem_for_the_%E2%88%99/%E2%88%9E_case

evariste21

gebrane a dit :

evariste21, ta rédaction laisse à désirer  .

  

evariste21

$0<\ln(1+x)<x,\ x>0$, alors $a_n \to 0$ ?

evariste21

Pourriez-vous montrer votre formulation pour le problème ? J'aimerais savoir comment mieux écrire. Je ne sais pas comment utiliser le théorème de Stolz, désolé. 

gebrane

Tu veux mieux rédiger ? essai de montrer que ta suite est minorée et décroissante. Pour la décroissance de ta suite utilise l’inégalité que j'ai mentionné sans passer par la dérivation)   . Pour Stolz, essai de m’écrire quelques choses ?

gebrane

Je ne veux pas forcer sur me neurones ci jours ci, est ce que quelqu’un peut donner un développement asymptotique de la suite $a_n$ ou au moins chercher un équivalent de la suite $na_n-2$, Je pense à @Chaurien @jandri @bisam @noix de totos  et d'autres intéressés

jandri

$\dfrac1{a_{n+1}}-\dfrac1{a_n}=\dfrac12-\dfrac{a_n}{12}+o(a_n)$ avec $a_n\sim \dfrac2n$ entraine que $\dfrac1{a_n}-\dfrac n2\sim-\dfrac16\ln n$ d'où l'on déduit $na_n-2\sim\dfrac{2\ln n}{3n}$.

gebrane

Merci @jandri pour cette réponse donnée si rapidement . @evariste21 tu as de quoi t'occuper pour ces nuits froides.

evariste21

Bonjour, 

Merci beaucoup pour vos aimables réponses, je vous lis attentivement et écris vos suggestions dans mon cahier. Pour l'instant mon corps me fait un peu mal, je pense que je suis sur le point de tomber malade. Je vais travailler sur la rédaction de la solution, merci beaucoup. 

noix de totos

Grâce au module de notification de ce nouveau forum, j'ai vu que tu m'avais cité, Gebrane...

Mais le temps que je m'aperçoive de ça, Jandri avait répondu à la vitesse Grand V. 

gebrane

Oui @noix de totos   c'est une nouveauté que j'ai appréciée le plus dans ce nouveau forum ; si quelqu'un nous site quelque part, on est informé par une notification.