Composante tangentielle et normale d'un vecteur

vw

Salut
Soit $u$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$, on définit la composante normale et tangentielle de $u$ comment suit.
$u_{\nu}=u\cdot\nu $
$u_{\tau}=u-u_{\nu}\cdot u$
'$\cdot$' définit le produit scalaire dans $\mathbb{R}^n$, $\|.\|$ la norme dans $\mathbb{R}^n$, $\nu $ est le vecteur unitaire
Est-ce que on a : 
$| u_{\nu}| \leq \|u\| $ ?
$\|u_{\tau}\| \leq  \|u\|$ ?

JLapin

As-tu fait une figure pour essayer de répondre à la question que tu te poses ?

gerard0

Bonjour.

Les notations sont bizarres. En général les composantes tangentielles et normales sont soit deux vecteurs (décomposition vectorielle), soit, en dimension 2, des nombres (coordonnées dans une base liée à la courbe).

J'adore aussi le "est le vecteur unitaire", comme s'il n'en existait qu'un !!

Il manque sérieusement le contexte de cette question.

vw

JLapin. Je n'ai pas de figure.
gerard0. Vous pouvez voir le contexte de cette question ... la thèse associe page 7

JLapin

Et bien fais toi-même une figure dans le plan de ta feuille par exemple.

gerard0

Et il serait bon que tu prennes toi-même conscience de ce contexte, car tu n'en as pas sérieusement tenu compte en posant ta question. Par exemple combien vaut n ? ou qui est $\nu$ ?

Une fois bien compris de quoi il est question, tu pourras faire le dessin (prends d=2) conseillé par JLapin.

Cordialement.

vw

$n=2$ ou $n=3$ $\nu$ est le normale unitaire sortante a $\Gamma$ frontière de domaine $\Omega \subset \mathbb{R^n}$ 
$u_{\nu}$ est un scalaire ..je sais pas donc comment faire un dessin!

gerard0

Tu peux représenter $u_{\nu}\cdot u$. Il n'en faut pas beaucoup pour t'arrêter !!

vw

Voilà le dessin. Je ne comprends pas quelle est la relation entre le dessin et ma question ?
$v$ est la composante normale,
$w$ est la composante tangentielle.

gerard0

Pourtant tu as la réponse sur ton dessin. Regarde-le. 
Bien entendu, tu as repensé ta question en terme de u, v et w. 

vw

A partir de dessin je pense que 
$$| u_{\nu}| \leq \|u\| \qquad\text{et}\qquad \|u_{\tau}\| \leq  \|u\|.$$

gerard0

Et comme ce sont les projections sur deux axes perpendiculaires, le théorème de Pythagore le prouve.