Ces intégrales génèrent-elles des nombres irrationnels?
Soit
- $\displaystyle a(n)=\int_{0}^{n}\frac{x^{\alpha}}{x^{\alpha}\pm \cos(x)}{\rm d}x$, avec $\alpha \in \mathbb{R}$.
- $ \displaystyle b(n)=\int_{0}^{n}\frac{x^{\alpha}}{x^{\alpha}\pm\sin(x)}{\rm d}x $, avec $\alpha \in \mathbb{R}$.
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Réponses
Par exemple, $a(1;\alpha=1),a(1;\alpha=2),a(1; \alpha=3),\cdots$ semblent être des nombres irrationnels. Le changement de signe au dénominateur n'était que pour faire une étude plus générale (ou du moins de là est venue ma curiosité). Cependant, on peut considérer $+$.
J'ai essayé d'utiliser IPP pour le cas $a(1;\alpha=1)$ mais le dénominateur est très fort.
Merci.
Il a raison, mais c'était juste une curiosité c'est pourquoi j'ai mentionné "ils semblent être des nombres irrationnels". Cependant, je vais essayer de travailler sur le cas n = 1 et voir si je peux trouver un moyen de résoudre ce cas. Toutes suggestions pour travailler dans ce cas, je suis attentif. L'intégration par parties ne semble pas utile. Peut-être un développement en série de l'intégrande ?
a l'air d'être bijective de $\mathbb R$ dans $]0,1[$, donc ses images peuvent être rationnelles ou irrationnelles.