Idéal et nombre algébrique
Bonsoir
Un nombre complexe $x$ est appelé nombre algébrique s'il existe $P \in \Q[X]$ non nul tel que $P(x)=0$
Soit $\alpha$ un nombre algébrique.
On pose $I(\alpha)=\{ P \in \Q[X] \ | \ P(\alpha)=0 \}$
1) Montrer que $I(\alpha)$ est un idéal de $\Q[X]$ différent de $\{0 \}$
2) Montrer qu'il existe donc un unique polynôme unitaire $\Pi_{\alpha} \in \Q[X]$ appelé polynôme minimal de $\alpha$ tel que $I(\alpha)= \{ \Pi_{\alpha} Q | \ Q \in \Q[X] \}$. On appelle degré de $\alpha$ le degré du polynôme $\Pi_{\alpha}$.
1) Comme $\alpha$ est algébrique, il existe $P$ non nul dans $\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0$ donc $I(\alpha)$ n'est pas réduit à $\{0 \}$.
2) Je n'ai pas réussi.
Un nombre complexe $x$ est appelé nombre algébrique s'il existe $P \in \Q[X]$ non nul tel que $P(x)=0$
Soit $\alpha$ un nombre algébrique.
On pose $I(\alpha)=\{ P \in \Q[X] \ | \ P(\alpha)=0 \}$
1) Montrer que $I(\alpha)$ est un idéal de $\Q[X]$ différent de $\{0 \}$
2) Montrer qu'il existe donc un unique polynôme unitaire $\Pi_{\alpha} \in \Q[X]$ appelé polynôme minimal de $\alpha$ tel que $I(\alpha)= \{ \Pi_{\alpha} Q | \ Q \in \Q[X] \}$. On appelle degré de $\alpha$ le degré du polynôme $\Pi_{\alpha}$.
1) Comme $\alpha$ est algébrique, il existe $P$ non nul dans $\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0$ donc $I(\alpha)$ n'est pas réduit à $\{0 \}$.
- $I(\alpha)$ est non vide.
- Soient $U,V \in I(\alpha)$. Alors $U$ et $V$ sont dans $\Q[X]$ et $U(\alpha)=V(\alpha)=0$. $(U-V)(\alpha)=U(\alpha)-V(\alpha)=0-0=0$ et la différence de 2 polynômes à coefficients dans $\Q[X]$ reste à coefficients dans $\Q[X]$. On a montré que $U-V \in I(\alpha)$.
- $I(\alpha)$ est une partie de $\Q[X]$. Soit $A \in I(\alpha)$ et $B \in \Q[X]$. Un produit de polynômes à coefficients dans $\Q[X]$ reste à coefficients dans $\Q[X]$. Montrons que $(AB)( \alpha)=0$ Comme $A \in I(\alpha)$ alors $X- \alpha$ divise $A$. Ainsi, $X- \alpha$ divise $AB$ et on a bien $AB(\alpha)=0$
2) Je n'ai pas réussi.
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Réponses
Merci j'ai corrigé la coquille.
D'accord merci. Je reviens sur cette notion, car je me souviens qu'en prépa je n'avais rien compris à la notion d'idéal.
Montrons que les idéaux de $K[X]$ sont de la forme $B K[X]$ avec $B \in K[X]$. Après, il reste juste à montrer l'unicité.
- Si $I=\{0 \}$ alors $I= 0 K[X]$
- Sinon, il existe un élément non nul dans $I$ de degré minimal. Notons le $B$. Montrons que $I= B K[X]$. Comme $I$ est un idéal de $K[X]$, on a directement $B K[X] \subset I$. Réciproquement, si $A \in I$, alors on effectue la division euclidienne de $A$ par $B$. On a $A=BQ+R$ avec $\deg R < \deg B$. Or $R=A-BQ \in I$ car $A \in I$ et $BQ \in I$ et $I$ est un idéal. Par minimalité du degré de $B$ parmi les polynômes non nuls de $I$, alors $R=0$ et $A=BQ \in B K[X]$. Donc $I \subset B K[X]$
- Finalement $I=B K[X]$
Il reste à montrer que :Tout idéal $I$ de $K[X]$ non réduit à $\{0 \}$ est de la forme $A K[X]$pour un unique polynôme unitaire $A$.
J'y réfléchis.
Montrons l'unicité du polynôme unitaire $A$ qui vérifie $I=A K[X]$.
Deux polynômes $A$ et $B$ sont associés si et seulement si $A \mid B$ et $B \mid A$.
Montrons d'abord que $\boxed{\forall (A,B) \in K[X]^2 \ \ B \mid A \Leftrightarrow A K[X] \subset B K[X]}$
- Si $B \mid A$ alors il existe $Q \in K[X]$ tel que $A=B Q$. Soit $U \in A K[X]$. Alors $U= A Q' = B QQ' \in B K[X]$
- Réciproquement, supposons $A K[X] \subset B K[X]$. Ainsi, $A \in B K[X]$. $A=BQ$ donc $B \mid A$
Si $A$ et $B$ sont associés alors $\boxed{A K[X]= B K[X]}$ Deux polynômes sont associés si et seulement si ils sont générateurs du même idéal.Soit $I$ un idéal de $K[X]$ non réduit à $\{0 \}$. Alors $I= B K[X]$ avec $B \in K[X]$. On prend pour $B$ le polynôme de $I$ de degré minimal non nul.
Prenons $A= \dfrac{1}{ dom(B)} B$ qui est bien unitaire, où $dom(B)$ est le coefficient dominant de $B$.
Ainsi, $A$ est unique et unitaire, ce qui répond à la question.
PS : la question $2$ n'était pas une question, c'était une affirmation dans un sujet, mais j'ai pensé que le démontrer serait formateur et me permettrait de mieux comprendre les idéaux de $K[X]$.
2) Montrer que $\alpha$ est de degré $1$ si et seulement si $\alpha \in \Q$.
3) a) Montrer que $\Pi_{\alpha}$ est irréductible dans $Q[X]$.
b) Soit $P \in \Q[X]$ un polynôme unitaire, irréductible dans $\Q[X]$. Montrer que si $z$ est une racine complexe de $P$ alors $P$ est le polynôme minimal de $z$.
Supposons que $\deg( \alpha)=1$. Alors $\Pi_{\alpha}$ est de degré $1$. Ainsi, comme il est unitaire, $\Pi_{\alpha} (X)=X-a$ avec $a \in \Q$ car $\Pi_{\alpha} \in \Q[X]$. Mais $\Pi_{\alpha} (\alpha)= \alpha -a=0$ donc $a= \alpha \in \Q$
Réciproquement, si $\alpha \in \Q$, alors $P=X- \alpha$ annule $\alpha$. Il est unitaire. Comme $\Pi_{\alpha} \mid X- \alpha$ et que le polynôme minimal ne peut pas être constant, on en déduit $\Pi_{\alpha}=X- \alpha$ et donc $\deg(\Pi_{\alpha})=1$
Question 3 :
a) Par l'absurde, si $\Pi_{\alpha} $ n'est pas irréductible dans $\Q[X]$ alors on peut écrire $\Pi_{\alpha}= UV$ avec $U$ et $V$ non constants.
Donc $U$ et $V$ sont distincts de $\Pi_{\alpha}$.
Par définition, $\Pi_{\alpha} (\alpha)=0$ donc $(UV)(\alpha)=U(\alpha) V(\alpha)=0$. Comme $\Q$ est un corps, $U(\alpha)=0$ ou $V(\alpha)=0$
Par symétrie, supposons $U(\alpha)=0$. Donc $U \in I(\alpha)$ et $\Pi_{\alpha} \mid U(\alpha)$
Donc $\deg (\Pi_{\alpha}) \leq \deg U(\alpha)$. Or, $\Pi_{\alpha}= UV$ donc $\deg U \leq \deg (\Pi_{\alpha})$. Ainsi, les polynômes $U$ et $\Pi_{\alpha}$ sont associés donc $V$ est constant ce qui est absurde.
b) Soit $P \in \Q[X]$ un polynôme unitaire irréductible dans \Q[X]$. Soit $z$ une racine complexe de $P$ alors $P(z)=0$
Donc $P \in I(z)$. Or, $\Pi_z \mid P$. Je n'arrive pas à conclure
Je sais que je dois utiliser que $\Pi_z$ et $P$ sont irréductibles mais je ne vois pas comment.
raoul.S
Finalement si, j'ai revu la notion de polynôme irréductible en profondeur.
$P$ est irréductible donc ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés. Ainsi, $\Pi_z$ est associé à $P$.
Or, $\Pi_z$ et $P$ sont unitaires, finalement $\boxed{\Pi_z =P}$
La suite m'a l'air intéressante. Ma réponse à la question 4a est-elle correcte ? Ce que je trouve bizarre c'est que je n'utilise pas le fait que $A$ et $B$ soient dans $\Q[X]$.
4) a) Soient $A,B \in \Q[X]$ deux polynômes qui possèdent une racine commune dans $\C$. Montrer que $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux dans $\Q[X]$.
b) Montrer que les racines de $\Pi_{\alpha}$ dans $\C$ sont simples.
Question 4a :
Notons $z$ la racine commune à $A$ et $B$ dans $\C$. On a $A(z)=B(z)=0$.
Donc $A,B \in I(z)$.
Ainsi, $\Pi_z \mid A$ et $\Pi_z \mid B$ donc $\Pi_z \mid PGCD(A,B)$.
Si $A$ et $B$ étaient premiers entre eux, alors $\Pi_z$ divise $1$ donc $\Pi_z=1$ ce qui est absurde car $\Pi_z$ est annulateur de $z$.
D'après le rapport du jury, on peut aussi raisonner avec Bezout. Je tente cette seconde piste.
Si $A$ et $B$ sont premiers entre eux, alors il existe $U,V \in \Q[X]$ tels que $AU+BV=1$. Mais $A U(z)+ B V(z) =0$, ce qui est absurde.
C'est l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels qui ont pour racine $z$.
$\Pi_{\alpha}$ est unitaire et irréductible dans $\Q[X]$. D'après ce qui précède, $\Pi_{\alpha}$ est le polynôme minimal de toutes ses racines.
Par l'absurde, si une racine $\Pi_{\alpha}$ est double, notons-la $z$, alors $\Pi_{\alpha} (z)=\Pi_{\alpha} '(z)=0$.
Ainsi, un polynôme de degré strictement inférieur au polynôme minimal annule $z$ ce qui est absurde.
5)a) Montrer que si $\alpha \in \Q$ est un entier algébrique alors $\alpha \in \Z$.
b) Montrer que si $\alpha \in \C$ est un entier algébrique alors $\Pi_{\alpha} \in \Z[X]$.
Indication : utiliser la question 5)a) et le théorème suivant :
L'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de $\C$.
Question 5a :
Soit $\alpha \in \Q$ un entier algébrique. Ainsi, il existe $P \in \Z[X]$ tel que $P(\alpha)=0$.
Notons $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ avec $\forall k \in [|0,n|], \ a_k \in \Z$. Donc $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \alpha^k =0$
Posons $\alpha=\dfrac{p}{q}$ avec $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$. Alors $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (\dfrac{p}{q})^k =0$
Après je bloque.
Du coup $ \dfrac{p^n}{q^n} = -a_0- a_1 \dfrac{p}{q} - \cdots - \dfrac{p^{n-1}}{q^{n-1}}$
Multiplions par $q^{n-1}$ et on obtient $ \dfrac{p^n}{q} = -a_0 q^{n-1}- a_1 q^{n-2}- \cdots -p^{n-1} \in \Z$
Donc $q \mid p^n$ soit $q \mid p$. Par conséquent, $\boxed{\alpha \in \Z}$
Question 5b :
Soit $\alpha \in \C$ un entier algébrique. Il existe $P$ unitaire à coefficients dans $\Z$ tel que $P(\alpha)=0$
Dans $\C$ tout polynôme est scindé et les racines de $\Pi_{\alpha}$ sont simples, ainsi $\Pi_{\alpha} (X)=(X-z_1) (X-z_2) \cdots (X-z_n)$
D'après les relations coefficients racines $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \sigma_k X^k$ avec $\sigma_k = \displaystyle\sum_{1 \leq i_1 <i_2 < \cdots <i_k \leq n} z_{i_1} \cdots z_{i_k}$
Je bloque à cette question, j'y ai passé 30 min je n'ai pas réussi.
Je dois préciser que je prends la forme de fraction irréductible de $\alpha= p /q$ avec $PGCD(p,q)=1$
Donc $PGCD(p^n,q)=1$. Finalement, $ q=p^n$ ou $q=1$. Si $q=1$ alors $\alpha = p \in \Z$. Si $q=p^n$ alors $p \mid q$ c'est absurde car $PGCD(p,q)=1$.
Donc $q=1$ et $\alpha= p \in \Z$.
J'avais tenté de démontrer que les $z_i$ sont algébriques (idée donnée dans le rapport) mais je n'ai pas réussi. Je ne trouve pas l'idée.
C'est $\Pi_{\alpha} (X)=X^n- \sigma_1 X^{n-1} + \sigma_2 X^{n-2} - \cdots + (-1)^p \sigma_p X^{n-p} + \cdots + (-1)^n \sigma_n$
$\boxed{\Pi_{\alpha} (X)=X^n + \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k} \sigma_k X^{n-k}}$
Montrons que les $z_i$ sont algébriques. $\alpha$ est un entier algébrique donc il existe $P \in \Z[X]$ unitaire tel que $P(\alpha)=0$.
Mais $\Pi_{\alpha} (\alpha)=0$ ainsi $\exists p \in [|1,n|] ,\ z_p = \alpha$ et $z_p$ est algébrique.
Or $\Pi_{\alpha} \mid P$ donc $P = \Pi_{\alpha} \times Q$ avec $Q \in \Z[X]$. Ainsi, $P(z_i)=0$ pour tout $i \in [|1,n|]$.
On a montré que les $z_i$ sont des entiers algébriques.
Comme l'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de $\C$, et que les $\sigma_k$ sont des sommes de produits d'entiers algébriques, les $\sigma_k$ sont des entiers algébriques. En effet, un sous-anneau est un sous-groupe stable pour la multiplication.
Mais je bloque à ce stade, je ne vois pas à quoi ça sert de savoir que $\sigma_k$ est un entier algébrique.
On doit montrer que les $\sigma_k$ sont des entiers relatifs.
La suite et fin de cette partie.
6)a) Soit $\alpha \in \C$ un entier algébrique de degré $2$ et de module $1$. Montrer que $\alpha$ est une racine de l'unité.
b) Montrer que $\dfrac{3+4i}{5}$ est un nombre algébrique de degré $2$ et de module $1$ mais n'est pas une racine de l'unité.
6)a) Soit $\alpha$ un entier algébrique de degré $2$. Donc son polynôme minimal est de degré $2$.
D'après la question 5)b), on sait que $\Pi_{\alpha} \in \Z[X]$. Donc il existe des entiers relatifs $a,b$ tels que $\Pi_{\alpha} (X)=X^2+aX+b$
Or, $| \alpha |=1$ donc on a $\alpha= e^{ i \theta}$ avec $\theta \in \R$.
$\Pi_{\alpha} ( e^{ i \theta} )= e^{ 2 i \theta} + a e^{ i \theta} +b=0$
Je bloque sur cette question. Je n'arrive pas à avancer.
$(x-\frac{3}{5}+\frac{4i}{5}) (x-\frac{3}{5}-\frac{4i}{5}) = x^2 - \frac{6}{5} x + 1$.
Ce polynôme est-il cyclotomique ?
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Pour la 6)a), étant bloqué j'ai regardé le rapport du jury qui dit que $\Pi(X)=(X- \alpha)(X - \bar{ \alpha} )$ car le polynômes minimal est à coefficients entiers donc réels.
C'est logique car si $\alpha$ est racine, et qu'un polynôme est à coefficient réels alors $\bar{\alpha}$ est aussi racine.
Je n'ai pas trop compris l'indication : une étude du coefficient de degré $1$ montrait que son module était au plus $2$ ce qui donnait un nombre fini de cas à examiner. Plusieurs candidats n'ont cependant pas exclu le cas $\alpha= \pm 1$ de leurs conclusions, ce qui était pourtant exclu par l'hypothèse du degré égal à $2$.
On a $\Pi(X)=(X- \alpha)(X - \bar{ \alpha} ) =X^2- 2 Re(\alpha) X+|\alpha|^2$
Or $\Pi(\alpha)=0= \alpha^2 -2 Re(\alpha)+|\alpha|^2=0$ donc $\boxed{|\alpha|^2+ \alpha^2 = 2 Re(\alpha)}$
Donc $| -2 Re(\alpha) |= |2 Re(\alpha) | =| |\alpha|^2+ \alpha^2 | \leq 2 |\alpha|^2 \leq 2$ car $|\alpha| =1$
Ainsi, le module du coefficient devant $X$ est de module au plus $1$. Mais je n'ai pas compris les cas en nombre fini à examiner.
Et désolé pour ma pollution de fil, elle est dûe à l'heure tardive et ne se reproduira plus.
Bonne continuation.
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Il y a 6 cas à considérer car en posant $a= - 2 Re(\alpha)$ on a $|a| \leq 2$ avec $a \in \Z$
- $a=-2$ alors $- 2 Re(\alpha)=-2$ soit $Re(\alpha)=1$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=0$. On a donc $\alpha=1$. On a bien $1$ qui est racine de l'unité car $1^1=1$.
- $a=-1$ alors $- 2 Re(\alpha)=-1$ soit $Re(\alpha)=1/2$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=\pm \sqrt{3} /2$. On a donc $\alpha=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}=e^{ \pm i \pi /3}$. On a bien $e^{\pm i \pi /3}$ qui est racine de l'unité car $(e^{ \pm i \pi /3})^6=e^{\pm 2 i \pi}=1$.
- $a=0$ alors $- 2 Re(\alpha)=0$ soit $Re(\alpha)=0$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=\pm 1$. On a donc $\alpha= \pm i$. On a bien $\pm i$ qui est racine de l'unité car $i^4=1$.
- $a=1$ alors $- 2 Re(\alpha)=1$ soit $Re(\alpha)=-1/2$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=\pm \sqrt{3} /2$. On se ramène au cas $a=-1$.
- $a=2$ alors $- 2 Re(\alpha)=2$ soit $Re(\alpha)=-1$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=0$. On se ramène au cas $a=-2$.
Dans tous les cas, $\alpha$ est une racine de l'unité, il y a juste la remarque du jury sur les cas $\alpha = \pm 1$ que je n'ai pas comprise.Or $P(X)=X-1$ annule $1$ ce qui contredirait le faire que $\Pi_{\alpha} (X)=(X-1)^2$.
Le raisonnement est identique pour $\alpha =-1$
Il me reste plus que la 6)b).
Posons $z=\dfrac{3+4i}{5}$
J'ai pensé à utiliser la question 3)b). Posons $P(X)=(X- \dfrac{3+4i}{5})(X+\dfrac{3+4i}{5})= X^2-2 Re(z)+ |z|^2$
Comme $|z|=1$ et $Re(z)=\dfrac{3}{5}$ alors $\boxed{P(X)=X^2-\dfrac{6}{5} X+1}$
$P$ est un élément de $\Q[X]$ unitaire et irréductible dans $\Q[X]$ car il n'admet pas de racine dans $\Q$ (pas sûr de ce passage) alors d'après la question 3)b, $P$ est le polynôme minimal de $z$.
Si $z$ était une racine de l'unité, alors $z$ serait algébrique. En effet, si $z$ est racine de l'unité, il existe un entier $k$ tel que $z^k=1$ et donc le polynôme $X^k-1$ est unitaire à coefficients entiers et il annule $z$.
Mais alors $\Pi_{\alpha}$ serait à coefficients entiers ce qui est impossible car $\dfrac{6}{5}$ n'est pas un nombre entier.
Première fois de ma vie que je finis une partie sans regarder une seule fois un corrigé. J'ai quand même mis 2 jours pour faire une partie, après c'est XENS donc aucune question n'est donnée.
PS. juste une précision : Si $z$ était une racine de l'unité, alors $z$ serait un entier algébrique.