Bonjour Je n'arrive pas à. débuter l'exercice suivant :smile. Conditions sur $(a,b,c)$ complexes pour avoir la convergence vers $0$ de la suite de TG : $a^n+b^n+c^n$ quand $n$ tend vers l'infini. D'avance merci.
Si on suppose que $a,b$ et $c$ sont distincts, la matrice de Vandermonde est inversible donc $a^n$ resp $b^n$ resp $c^n$ s’écrit comme combinaison linéaires des $x_n$,$ x_{n+1}$,$x_{n+2}$ donc si la suite $x_n$ tend vers $0$, une CNS est que la suite $a^n$ resp $b^n$ resp $c^n$ tend aussi vers $0$ et donc $|a|<1$ resp $|b|<1$ resp $|c|<1$.
Je tente une solution sans Vandermonde. Sans les supposer distincts, on peut toujours supposer $\left|a\right|\leq\left|b\right|\leq\left|c\right|$ ce qui amène à considérer plusieurs cas 1) $\left|a\right|\leq\left|b\right|<\left|c\right|$ alors $$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}\right|$$ et $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$ puisque $\left(\frac{a}{c}\right)^{n}$ et $\left(\frac{b}{c}\right)^{n}$ tendent vers zéro. 2) $\left|a\right|<\left|b\right|=\left|c\right|$ alors il existe $\theta$ réel tel que $b/c=e^{i\theta}$ et $$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+e^{i\theta n}\right|$$On a $\left(\frac{a}{c}\right)^{n}$ qui tend vers zéro car $\left|\frac{a}{c}\right|<1$ et $1+e^{i\theta n}$ ne peut pas converger vers zéro (*) donc $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$. 3) $\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|$ alors il existe $\theta_{1}$ et $\theta_{2}$ réels tel que $b/c=e^{i\theta_{1}}$ et $a/c=e^{i\theta_{2}}$ et$$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+e^{i\theta_{1}n}+e^{i\theta_{2}n}\right|$$Comme $1+e^{i\theta_{1}n}+e^{i\theta_{2}n}$ ne peut pas converger vers zéro (**) $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$ (*) $1+e^{i\theta n}$ tend vers zéro veut dire $1+e^{i\theta(n+1)}$ aussi et donc $1=e^{i\theta}\Rightarrow\theta=2k\pi$ et $e^{i\theta n}=1$ contradiction
(**) $1+e^{i\theta_{1}n}+e^{i\theta_{2}n}\rightarrow0\Rightarrow1+e^{i\theta_{1}n}e^{i\theta_{1}}+e^{i\theta_{2}n}e^{i\theta_{2}}\rightarrow0$ et donc $1-e^{i\theta_{1}}+e^{i\theta_{2}n}\left(e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}\right)\rightarrow0$.
Maintenant soit $\theta_{2}=\theta_{1}+2k\pi$ et alors $1=e^{i\theta_{1}}\Rightarrow\theta_{1}=2k'\pi\Rightarrow e^{i\theta_{1}n}=1\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}\rightarrow-2$ impossible. Soit $e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}\neq0\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}\rightarrow\frac{1-e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}}$ $\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}e^{i\theta_{2}}\rightarrow\frac{1-e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}}$ $\Rightarrow e^{i\theta_{2}}=1\Rightarrow\theta_{2}=2k''\pi\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}=1\Rightarrow e^{i\theta_{1}n}\rightarrow-2$ impossible.
PS : je suppose qu'il existe un théorème permettant de dire que pour tout $m$-uplet de réels $\theta_{1},\ldots,\theta_{m}$ la suite $\sum_{k=1}^{m}e^{i\theta_{k}n}$ ne peut pas converger.
Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Si on note $(u_n)$ la suite étudiée, intéresse toi à la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_{n+1}- c u_n$.
C'est un bon début je crois.
Edit : effectivement la solution de gebrane clôt le problème (je ne l'avais pas lue car le latex était dégueu).
-- Schnoebelen, Philippe
1) $\left|a\right|\leq\left|b\right|<\left|c\right|$ alors $$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}\right|$$ et $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$ puisque $\left(\frac{a}{c}\right)^{n}$ et $\left(\frac{b}{c}\right)^{n}$ tendent vers zéro.
2) $\left|a\right|<\left|b\right|=\left|c\right|$ alors il existe $\theta$ réel tel que $b/c=e^{i\theta}$ et $$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+e^{i\theta n}\right|$$On a $\left(\frac{a}{c}\right)^{n}$ qui tend vers zéro car $\left|\frac{a}{c}\right|<1$ et $1+e^{i\theta n}$ ne peut pas converger vers zéro (*) donc $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$.
3) $\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|$ alors il existe $\theta_{1}$ et $\theta_{2}$ réels tel que $b/c=e^{i\theta_{1}}$ et $a/c=e^{i\theta_{2}}$ et$$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+e^{i\theta_{1}n}+e^{i\theta_{2}n}\right|$$Comme $1+e^{i\theta_{1}n}+e^{i\theta_{2}n}$ ne peut pas converger vers zéro (**) $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$
(*) $1+e^{i\theta n}$ tend vers zéro veut dire $1+e^{i\theta(n+1)}$ aussi et donc $1=e^{i\theta}\Rightarrow\theta=2k\pi$ et $e^{i\theta n}=1$ contradiction
$\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}e^{i\theta_{2}}\rightarrow\frac{1-e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}}$
$\Rightarrow e^{i\theta_{2}}=1\Rightarrow\theta_{2}=2k''\pi\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}=1\Rightarrow e^{i\theta_{1}n}\rightarrow-2$ impossible.
PS : je suppose qu'il existe un théorème permettant de dire que pour tout $m$-uplet de réels $\theta_{1},\ldots,\theta_{m}$ la suite $\sum_{k=1}^{m}e^{i\theta_{k}n}$ ne peut pas converger.
Attention. Dans ton P.S., si les $\theta_k $ sont des multiples de de $ 2\pi $, ta suite converge bien