Valeur modulo p

etanche

Bonjour 
Soit $p$ un nombre premier, $a=\dfrac{1}{2\cos(\frac{4\pi}{7})}$. Déterminer $\lfloor a^{p+2} \rfloor mod p$ 

Merci 

On peut vérifier que $2\cos(\frac{2\pi}{7}), 2\cos(\frac{4\pi}{7}), 2\cos(\frac{8\pi}{7})$ sont solutions de $x^3+x^2-2x-1=0$ 

bisam

Si on note $b=\frac{1}{2\cos{\frac{2\pi}{7}}}$ et $c=\frac{1}{2\cos{\frac{8\pi}{7}}}$ alors $a,b,c$ sont les racines de $P:=X^3+2X^2-X-1$.

De plus, pour tout $n\in\N^*$, $b^n+c^n\in\left]0,1\right[$ et $S_n:=a^n+b^n+c^n\in\Z$ donc $\lfloor a^n\rfloor = S_n-1$.

Plus précisément, la suite $(S_n)_{n\in\N}$ est récurrente linéaire d'ordre 3 et vérifie $S_0=3$, $S_1=-2$, $S_2=6$ et $\forall n\in\N, S_{n+3}=-2S_{n+2}+S_{n+1}+S_n$.

Je ne vois pas ce que l'on peut dire plus précisément lorsque $n$ est un nombre premier : je soupçonne que c'était pour tromper l'ennemi...

etanche

@bisam j’avais oublié d’écrire mod p . Il faut déterminer $\lfloor a^{p+2} \rfloor \mod p$ 

LOU16

Bonjour

Voici  ce que j'ai trouvé comme réponse à la question: $\quad\boxed { \text{Quelles valeurs prend } \lfloor a^{p+2} \rfloor  \mod p?}$

Soit $ b: =\dfrac 1{2\cos(2\pi/7)}, \:\: c:=\dfrac 1{2\cos(8\pi/7)}.\quad $ Alors:  $\:P(X): =\:X^3+2X^2-X-1 = (X-a)(X-b)(X-c).$

Ainsi, $ \:\forall n \in N, \:\:\: u_n:= a^n+b^n +c^n \in \Z. \qquad u_n$ est aussi défini par:

$$u_0 =3, \:u_1 =-2, \: u_2 = 6, \quad \forall n \in\N, \:\: u_{n+3} = -2u_{n+2} + u_{n+1} + u_n.$$

Soit  $p \text{ un nombre premier },  p \neq 2,7.\:\: $ Alors  $ 0 <b^{p+2} +c^{p+2} < b^{p+2}< 1 , \quad a^{p+2} <-1, \: $ de sorte que: $ \lfloor a^{p+2}\rfloor = u_{p+2} -1. \:\: (1)$

 Pour tout entier $x$, on note  $\widehat x$ l'image de $x$ par le morphisme canonique $\Z \to \mathbb F_p.$

Soit $\mathbb K = \mathbb F_p(\omega) $ où $\omega$ est une racine primitive $7$-ième de l'unité, $\:\: u=\omega +\omega^{-1}, \:\: v =\omega ^2 + \omega^{-2}, \:\:w = \omega ^3 + \omega^{-3}. \quad (2)$

Alors: $ \:u+v+w =-\widehat 1, \:\:uvw = \widehat 1 \:\:(3), \:\: \:\: \widehat P(X) =\left ( X-\frac 1u  \right)\left(X-\frac 1v \right) \left(X-\frac 1w \right), \:\: \forall n \in \N, \:\widehat {u_{n}} = \dfrac 1{u^{n}} + \dfrac 1{v^{n}}+ \dfrac 1{w^{n}}.$

$\bullet \:\:\text{Si } p \equiv\pm 1 \mod7.\:\:$

Alors: $\:\: u^p =u, \:\:v^p =v, \:\: w^p =w. \quad \widehat {u_{p+2}} = \dfrac 1{u^3} + \dfrac 1{v^3}+ \dfrac 1{w^3} =\widehat {u_3} =-\widehat{11}, \quad u_{p+2} \equiv -11 \mod p.$

$\bullet \:\:\text{Si }\:p\equiv \pm 2 \mod 7. \quad$

Alors: $\:\:u^p  =v, \:\: v^p =w, \:\: w^p =u.\quad$ $\widehat {u_{p+2}} = \dfrac 1{u^2v} + \dfrac 1{v^2w}+ \dfrac 1{w^2u} \overset{(3)}=uv^2+vw^2 +wu^2  \overset{(2)}=-\widehat 4,\quad u_{p+2} \equiv -4 \mod p.$

$\bullet \:\:\text{Si }\:p\equiv \pm 3 \mod 7. \quad$

Alors: $\:\:u^p  =w, \:\: v^p =u, \:\: w^p =v.\quad$ $\widehat {u_{p+2}} = \dfrac 1{u^2w} + \dfrac 1{v^2u}+ \dfrac 1{w^2v}\overset{(3)} =uw^2+vv^2 +wv^2  \overset {(2)}=\widehat 3,\quad u_{p+2} \equiv 3 \mod p.$

Avec $(1)$, on obtient ainsi la conclusion suivante:

$$ \boxed{\text{Pour tout nombre premier }p\neq 2,7, \:\:\Big\lfloor  a^{p+2} \Big\rfloor\text{ est, modulo }p,\text { congru  à } \left\{\begin{array}{cl} -12 & \text {si } p\equiv  \pm1 \mod 7 \\ -5 &\text {si } p\equiv \pm2  \mod 7 \\ 2 & \text {si }p \equiv \pm3 \mod 7 \end{array}\right.  }$$

Une remarque: on peut facilement adapter la démarche précédente à l'obtention de belles congruences un peu plus générales:

Pour simplifier les calculs, je considère plutôt la suite $(v_n)_n $, cousine de $(u_n)_n,$ définie par:

$v_0 =3, \: v_1 =-1,\: v_1 = 5, \quad \forall n \in \N, \:\: v_{n+3} =-v_{n+2} +2v_{n+1} +v_n.\quad $ Alors

$$ \forall k \in \N, \:\forall p\in \mathbb P\setminus \{2,7\}, \:\:\text{modulo } p:\:  \:v_{p+k}\equiv \left\{\begin{array}{ll} v_{k+1} & \text {si } p\equiv  \pm1 \mod 7 \\ v_{k+2}- 2v_k &\text {si } p\equiv \pm2  \mod 7 \\ v_{k+3}- 3v_{k+1} & \text {si }p \equiv \pm3 \mod 7 \end{array}\right.  $$