Courbe fermée, sous-variété

Bonux73

Bonjour
la question qui me pose problème concerne un exercice élémentaire de topologie différentielle que voilà.

On considère X une variété (lisse) et f une fonction d'une variable réelle lisse à valeurs dans X qui est T-périodique et injective sur [0,T[, il s'agit de montrer que l'image de R par f est une sous-variété de X.

Vu le contexte, j'ai envie d'utiliser f comme plongement mais il subsiste le problème de l'injectivité de la différentielle de f (modulo une carte qui contient f(x)) mais aussi celui de la compacité de l'espace de départ, on peut dire que f(R)=f([0, T[) mais [0,T[ n'est pas compact (si l'on rajoute T, on perd l'injectivité). Tout cela me laisse penser qu'il faut avoir une autre approche que celle du plongement, qu'en est-t-il ?

(Je suis au niveau L3 et je commence la topologie différentielle accompagné seulement du livre de Lafontaine pour le contexte)

NoName

Tel qu'énoncé le résultat est faux.
C'est facile de construire une telle fonction qui ait pour image un carré (en la faisant "s'arrêter" aux sommets du carré pour pouvoir "tourner" sans perdre la lissité).
Si elle est immersive, alors le résultat devient vrai comme tu l'as remarqué.

Bonux73

J'ai pris l'énoncé de le livre de Lafontaine, mais il peut en effet y avoir une erreur.

Je ne comprends pas comment vous construisez une telle fonction en gardant la lissité (l'argument de ne pas prendre les sommets ne me convainc pas tellement...) et la périodicité.

Si elle est immersive je suis d'accord que ça semble gagner, comment juste régler le problème de compacité que j'évoquais juste au dessus ?

NoName

Prend $\phi$ une fonction lisse sur $I=[0,1]$, qui vaut $0$ en $0$ et $1$ en $1$, strictement croissante et donc toutes les dérivées $n$-ièmes s'annulent en $0$ et $1$.
Considère alors $f:[0,4] \to \mathbb{R}^2$ défini par $f(t)=(\phi(t), 0)$ pour $0\leq t\leq 1$, $f(t)=(1, \phi(t-1))$ pour $1\leq t\leq 2$, $f(t)=(1,1-\phi(t-2))$ pour $2\leq t\leq 3$, $f(t)=(1-\phi(t-3), 0)$ pour $3\leq t\leq 4$. Et tu prolonges $f$ par $4$-périodicité.

C'est facile de voir que $f$ est lisse, car $f^{(j)}(n)=0$ pour tout entier $n$ et tout entier $j\geq 1$. Et l'image de $f$ est un carré.

Pour la compacité l'image de $f$ c'est certes $f([0, T[)$, c'est aussi $f([0,T])$ ou $f(K)$ pour n'importe quel compact qui contient $[0,T[$ (ou un peu mieux c'est l'image de $\mathbb{R}/T\mathbb{Z}$ qui est compact, mais tu n'as pas besoin nécéssairement de ça)

Bonux73

Ah bien sur, j'avais mal compris, je croyais que vous parliez d'un carré plein...
Oui en effet ça semble bien être un contre exemple. Je suis assez étonné de trouver une faute dans ce livre mais il n'y a pas d'erreur dans ce que vous dites. Je n'avais jamais vu l'importance du caractère d'immersion sous cette angle (dire qu'on peut tourner brutalement en restant lisse si on est à vitesse 0), merci.

Ouais mais si K compact contient [0,T[, il contient 0 et T et donc f sur ce compact n'est plus injective, cela ne pose-t-il pas problème ? Cependant je suis d'accord avec l'argument utilisant le quotient.