Une évidence à démontrer

LOU16

Bonjour

La discussion récente "Probabilité de $\limsup$" m'a conduit à la question suivante.

Pour tous entiers $k\geqslant 1,\ n \geqslant 0, \ f_{k,n} $ désigne la fonction polynomiale $[0;1]\to \R$ ainsi définie :

$\forall k\in \N^*,\ f_{k,0}(x)= f_{k,1}(x)=\cdots= f_{k,k-1}(x)=0, \ f_{k,k}(x)= x^k, \quad \forall n \geqslant k, \ f_{k,n+1}(x)=f_{k,n}(x)+x^k(1-x)\left(1- f_{k,n-k}(x) \right).$

$f_{k,n}(x)$ est la probabilité d'obtenir au moins une série de $k\:\text{"face"}$ successifs, à l'issue de $n$ lancers d'une pièce, qui à chaque lancer, donne $\text{"face"}$ avec une probabilité égale à $x$.

Il est donc raisonnable de penser que chaque $f_{k,n} \text{ est une fonction croissante}$, car favoriser à chaque lancer l'apparition de $\text{"face"}$ semble rendre plus probable l'obtention de séries de $k \text{ "face"}$.

 Comment démontre-t-on, si elle est vraie, cette affirmation ?

D'autre part, si un artiste, expert dans le maniement des pinceaux numériques, pouvaient composer un tableau permettant de contempler de gracieuses courbes figurant des $f_{k,n}$ bien choisies, il en retirerait toute ma gratitude.

Lucas

Oui, c'est possible de le démontrer par couplage entre des pièces de paramètres $x$ et $y$ : tu tires d'abord des uniformes $U_1,\dots,U_n$ sur $[0,1]$ et ensuite tu poses

$$Z_k=\mathbf{1}_{U_k<x},\qquad Z'_k=\mathbf{1}_{U_k<y},$$

ça te permet de comparer des événements qui arrivent pour tes deux pièces différentes.

marco

Bonjour,

Soit $D_{k,n}(x)$ le sous-ensemble de $[0,1]^n$, qui est la réunion $[0,x]^k\times [0,1]^{n-k} \cup [0,1] \times [0,x]^k \times [0,1]^{n-k-1} \cup \cdots \cup [0,1]^{n-k} \times [0,x]^k$, alors* $f_{k,n}(x)$ est la mesure de $D_{k,n}(x)$. Et $D_{k,n}(x) \subset D_{k,n}(y)$ si $x \leq y$, donc $f_{k,n}(x)$ est croissante en fonction de $x$.

*En effet, $D_{k,n+1}(x)$ est union disjointe de $D_{k,n}(x)\times[0,1]$ et de $^c D_{k,n-k}(x)\times ]x,1] \times [0,x]^k$, où $^cD_{k,n-k}(x)$ est le complémentaire de $D_{k,n-k}(x)$ dans $[0,1]^{n-k}$. Donc $f_{k,n}(x)$ et $\mu(D_{k,n}(x))$ vérifient la même relation de récurrence.

LOU16

Merci pour ta réponse, mais je ne connais pas cette notion de couplage et, étant de surcroît un peu bouché, je suis bien embarrassé avec ces $Z_k$ et $Z_k'$ dont je ne sais trop quoi faire pour prouver que $x<y \implies f_{k,n} (x) <f_{k,n}(y).$

Pourrais-tu détailler cette histoire ou m'indiquer une référence ?

gebrane

Est-il impossible de donner l'expression de ce polynôme en $x$ ? Dans le cas $n=5$ et $k=3$, je trouve ce joli polynôme $-2x^4+3x^3$ qui est bien croissant sur $[0,1]$.

gebrane

J'ai trouvé un article qui donne l'expression de ce polynôme,   c'est la formule 5   ( avec leur notation  x=p, k=m) de https://alexamarioarei.github.io/Research/docs/LongestHrunReview.pdf ( je tombe sur mon polynôme dans le cas n=5 et k=3).

Mais la grande difficulté est de prouver que ce polynôme est bien croissant ( peut être raoul.S )

marsup

Bonjour
Les courbes $y=f_{k,n}(x)$, pour $0 \le k \le n+1$ avec $n=30$.

Voici les instructions Python, au cas où quelqu'un veut voir quelque chose d'autre.

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

res = 201
x = np.linspace(0,1,res)

def Y(k,n) : 
    t = k * [0*x] + [x**k]
    for j in range(k,n) :
        suivante = t[j] + x**k * (1-x) * (1 - t[j-k])
        t.append(suivante)
    return t[n]

fig = plt.figure(1)
fig.clf()
ax =  fig.subplots(1)
plt.ion()

n = 30
for k in range(n+2) : 
    y = Y(k,n)
    ax.plot(x,y)

ax.grid("on")
plt.show() 

marsup

Re-bonjour
Je tente ma chance pour les maths.

Je pense qu'on prend $p+q+r = 1$, avec

• $p$ proba de FACE
• $q$ proba de PILE 
• $r$ proba que la pièce tombe sur la tranche.

Alors

• $f_{k,n}(p) = $ proba d'avoir une sous-suite consécutive de $k$ FACE
• $f_{k,n}(p+r) = $ proba d'avoir une sous-suite consécutive de $k$ {FACE ou TRANCHE}

Donc $f_{k,n}(p) \le f_{k,n}(p+r)$.

PS. Marche aussi pour montrer que la probabilité d'avoir obtenu, en tout à n'importe quelles positions, au moins $k$ fois FACE (1 - fonction de répartition de la loi binomiale) est croissante avec $p$.
D'ailleurs, dans ce contexte, on voit qu'une variable $X$ de loi $B(n,p)$ et $Y$ de loi $B(n,r)$ peuvent donner $X+Y$ de loi $B(n,p+r)$.

Lucas

@LOU16 : lors de mon premier message j'avais un bébé dans les bras d'où ma réponse lacunaire. Là j'ai le porte-bébé, j'ai donc deux mains pour répondre.

Je note les "faces" par des $1$ (et les "pile" par 0) j'introduis les v.a. $Z,Z'$ définies par $x<y$ fixés et

$$Z_n=\mathbf{1}_{U_n<x},\qquad Z'_n=\mathbf{1}_{U_n<y},$$

avec $(U_n)$ une suite d'uniformes indépendantes. Alors :

• Pour chaque $n$, si $Z_n$ est un face alors $Z'_n$ est un face
• La suite des $Z$ (resp. $Z'$) est une suite de pile/face avec proportion $x$ de "face" (resp. $y$).

Notons $R_n$ (resp $R'_n$) la plus longue séquence de "face" consécutifs dans les $n$ premiers lancers de $Z$ (resp. $Z'$).

De la première propriété je déduis qu'avec probabilité $1$ on a

$$\{ R_n\geq k\} \subset \{ R'_n\geq k\}$$

et donc en prenant les probabilités des deux événements ci-dessus on a

$$f_{k,n}(x)\leq k_{k,n}(y).$$

marco

Je crois que les double dollars ne passent pas.

[Si, mais il ne faut pas aller à la ligne dedans. AD]

Ah, d'accord merci.

Lucas

Ah, ok AD je ne comprenais pas le souci. Je ferai gaffe.

LOU16

Merci à tous pour vos réponses. C'était en effet très simple . Comme quoi on ne lance pas assez souvent des pièces susceptibles de retomber sur la tranche.