Preuve d'une inégalité

Nora-math

Bonjour, comment  montrer cette inégalité $$\forall a,b\in\mathbb{R},\qquad a+b<a^2+b^2+2.$$J'ai considéré l’équation $x^2-x+(b^2-b+2)=0$ mais je n'arrive pas à conclure, j'ai $\Delta= 1-4(b^2-b+2)$.
Merci.

gerard0

Bonsoir.

On peut le faire par disjonction de cas :

$a\le 0 : b<b^2+2$ est immédiat ; idem pour $b\le 0$ ;

$0<a\le 1$ et $0<b\le 1$ : $a+b\le 2$ ;

etc.

Cordialement.

YvesM

Bonjour,

Forme les carrés en $a$ et en $b$ : $a^2-a=(a-1/2)^2-1/4.$

Math Coss

Tu peux continuer à partir de ton calcul de $\Delta$ : le développer, le factoriser, en déduire le signe du polynôme en $a$...

gebrane

Plus simple. On sait que x²-x+1>0 pour tout x, donc a+b<a²+1+b²+1

ev

Une autre idée :

Ecrire $a^2 + b^2 + 2c^2 - ab - bc \;$ comme somme de carrés puis contempler $c=1$.

e.v.