Problème de Cauchy
Bonjour,
soient $a$ et $b$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On considère le problème de Cauchy $$
\begin{cases}
y'=a(x)y+b(x),\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$Comment prouver que ce problème admet une solution unique sur l'intervalle $I$ sans appliquer directement le théorème de Cauchy Lipschitz ?
Merci d'avance pour votre aide.
[Augustin Louis Cauchy (1789-1857) et Rudolph Lipschitz (1832-1903) ont droit au respect de leur patronyme. AD]
soient $a$ et $b$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On considère le problème de Cauchy $$
\begin{cases}
y'=a(x)y+b(x),\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$Comment prouver que ce problème admet une solution unique sur l'intervalle $I$ sans appliquer directement le théorème de Cauchy Lipschitz ?
Merci d'avance pour votre aide.
[Augustin Louis Cauchy (1789-1857) et Rudolph Lipschitz (1832-1903) ont droit au respect de leur patronyme. AD]
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Réponses
Deux possibilités :
1) tu peux diviser par $y$ à gauche et à droite pour obtenir $\dfrac{y'(x)}{y(x)}=a(x)$ puis intégrer... L'expression $\dfrac{y'(x)}{y(x)}$ devrait t'inspirer.
2) Tu peux y aller à la physicienne 🤮 : $dy=a(x)y(x)dx$ puis $\dfrac{dy}{y}=a(x)dx$ et intégrer.
Remarque : pas besoin de s'occuper des problèmes de division par zéro. Il suffit de trouver une expression pour $y$ puis de vérifier que c'est effectivement une solution.
est linéaire. On sait la résoudre par la méthode de la variation des constantes qui donne $ y(x)=e^{A(x)-A(x_0)}y_0+e^{A(x)}\int_{x_0}^x e^{-A(x)} b(x) dx$ où A est une primitive de a
Pour l'unicité, tu supposes que $\phi$ est une solution de $y'=a(x) y,\ y(x_0)=0$ et tu considères la fonction $g$ définie par $g:x\mapsto e^{-A(x)}\phi(x)$ (voir notations de gebrane ci-dessus). Calculer $g'$ et conclure.