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Présentation d'un groupe par générateurs et relations

Modifié (26 Nov) dans Algèbre
Bonjour, notons par $F(\{t\})$ le groupe libre à un générateur $t$. J'aimerais comprendre pourquoi $F(\{t\})$ admet la présentation $\langle t,s\mid ts^1\rangle$. Donc il faudrait montrer que $F(\{t\})\simeq F(\{t,s\})/\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle$ où $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle\triangleleft F(\{t,s\})$ désigne le sous-groupe normal de $F(\{t,s\})$ engendré par $\{ts^{-1}\}\subset F(\{t,s\})$.

J'écris l'homomorphisme suivant. $$\begin{array}{crcl}\varphi:&F(\{t,s\})&\longrightarrow &F(\{t\})\\ &t^{n_1}s^{m_1}t^{n_2}s^{m_2}\cdots s^{m_l}&\longmapsto& t^{n_1}t^{m_1}t^{n_2}t^{m_2}\cdots t^{m_l}=t^{n_1+\cdots +m_l}\end{array}$$ On observe que effectivement, $ts^{-1}\in \ker \varphi$ et donc aussi que $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle \triangleleft \ker \varphi$.  Mais comment montrer l'autre inclusion ? Je ne la vois pas vraiment... Merci pour votre aide.

Réponses

  • Modifié (25 Nov)
    Bonjour
    Tu peux facilement décrire des isomorphismes réciproques entre tes deux groupes.
    Dans le sens du groupe libre à un générateur $t$ vers l'autre, tu peux prendre l'homomorphisme qui envoie $t$ sur $t$.
    Dans l'autre sens ?
  • Je ne vois pas très bien comment directement décrire un isomorphisme d'un espace quotient vers un autre. Ici mon idée était d'utiliser le théorème d'isomorphisme: On a que $F(\{t,s\})/\ker \varphi\simeq F(\{t\})$. Il reste donc à montrer que $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle = \ker \varphi$. Comme je l'ai dit, on observe que $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle \triangleleft \ker \varphi$, il reste simplement l'autre inclusion que je ne vois pas très bien...
  • Modifié (25 Nov)
    À mon avis, si l'on veut comprendre quelque chose aux présentations de groupe, il faut penser en termes de propriété universelle et ne pas rester englué dans la construction comme quotient de groupe libre etc.
    Un groupe $G$ de présentation donnée par des générateurs $a_1,\ldots,a_n$ et des relations $r_1(\mathbf a),\ldots ,r_p(\mathbf a)$ fonctionne comme ça : pour tout groupe $H$ muni d'éléments $h_1,\ldots,h_n$ vérifiant $r_1(\mathbf h)=\ldots=r_p(\mathbf h)=e$, il existe un unique morphisme de groupes $f :G\to H$ tel que $f(a_i)=h_i$ pour $i=1,\ldots,n$.
    Je travaille de préférence comme ça avec les présentations de groupe. Et pour ta question, ça me semble le bon point de vue !
  • Je ne vois pas du tout comment travailler avec cette propriété. Cette propriété est en fait présente dans mon cours mais dans la partie "groupes libres", avant les présentations de groupe. Dans mon cours, un groupe $G$ admet la présentation $G=\langle E\mid R\rangle$ (où $E$ est un ensemble et $R\subset F(E)$) si $G\simeq F(E)/\langle \langle R\rangle \rangle$. Je suis curieux de voir comment travailler avec la propriété universelle, je ne vois pas du tout comment faire le lien, est-ce que tu pourrais détailler s'il te plaît?
  • J'ai déjà dit qu'on envoyait le groupe $F$ de présentation $\langle t\mid {}\rangle$ dans le groupe $G$ de présentation $\langle t,s\mid ts^{-1}\rangle$ en envoyant $t$ sur $t$. Dans l'autre sens, on envoie $t$ sur $t$ et $s$ également sur $t$. Le composé $G\to G$ envoie donc $t$ sur $t$ et $s$ sur $t$ également, et comme $s=t$ dans $G$ ce composé est bien l'identité.
    Tu peux refaire la même chose avec $H=\langle t,u\mid tu\rangle$.
  • Je comprends la démarche intuitive mais je n'arrive pas à lier avec la propriété universelle: Qui est $G$, qui est $H$, quel est le morphisme? Il me faudrait quelque chose de formel au moins une fois...
  • Une présentation détermine un groupe à un isomorphisme (unique) près. Si ça te rassure, tu as la construction comme quotient du groupe libre, mais ce n'est pas ça l'important. Ce qui est important, c'est comment un groupe de présentation donnée fonctionne par rapport aux autres groupes.
    Par exemple ce qui est important pour $H$, c'est que chaque fois que tu as un groupe $K$ et deux éléments $m$ et $p$ de $K$ tels que $mp=e$, il existe un unique morphisme $H\to K$ qui envoie $t$ sur $m$ et $u$ sur $p$.
    Tu peux construire un $H$ vérifiant cette propriété universelle en quotientant le groupe libre de générateurs $t$ et $u$ par le sous-groupe distingué engendré par le produit $tu$. Mais ça, c'est finalement accessoire.
    Rassure-toi, ce n'est pas parce que tu n'as pas l'habitude de cette démarche qu'elle n'est pas parfaitement formelle.
  • Les deux morphismes que tu utilises dans ce message ne font aucunement appel à la propriété universelle on est d'accord? Cette manière de définir ces morphismes peut m'aller à la limite mais il y a quand même le petit fait suivant qui me dérange toujours un peu: Il s'agit fondamentalement de morphismes entre espaces quotients et on n'est pas 100% sûr qu'ils sont donc bien définis, c'est pourquoi j'aurais préféré le théorème d'isomorphisme. Concernant $H=\langle t,u\mid tu\rangle$ il suffit de faire la même chose mais juste en envoyant $u$ sur $t^{-1}$.

    À quoi sert globalement cette propriété universelle si ce n'est juste dire qu'il existe un morphisme qui associe chaque générateur des deux groupes entre eux? La propriété universelle est bien présente dans mon cours mais il n'est pas question de relation ni même de présentation. Ce morphisme (d'après mon cours) existe en fait toujours même en supprimant l'hypothèse sur les relations.
  • Tu penses que tu peux définir un morphisme de ton groupe $H$ vers $\Z/2\Z$ en envoyant $t$ sur $0$ et $u$ sur $1$ ?
  • Je dirais que non car $0=\varphi(e)=\varphi(tu)=\varphi(t)\varphi(u)=0+1=1$. Pourtant, je n'invente rien, voici ce qu'il y a dans mon cours:

    Propositon (Propriété universelle des groupes libres)

    Soit $K$ un groupe, $f_\alpha\in K,\alpha\in J$. Alors, il existe un unique homomorphisme $\phi:F_J\to K$ tel que $f_\alpha=\phi(k(\alpha))$.
    Notations:
    • $J$ est un ensemble quelconque, $F_J=\ast_{\alpha\in J}\mathbb Z$ où $\mathbb Z\simeq \{t^n\mid n\in \mathbb Z\}=\langle t\rangle$
    • $k:J\to F_J,\alpha\mapsto t_\alpha$ (le générateur correspondant à $\alpha$)
    Mon prof l'a appelé "propriété universelle des groupes libres" et a dit que c'était une conséquence du théorème suivant:

    Théorème (Propriété universelle du produit libre)

    Soit $K$ un groupe, $\varphi_\alpha:G_\alpha\to K,\alpha \in J$ un homomorphisme. Alors, il existe un unique homomorphisme $\phi:\ast_{\alpha\in J}G_\alpha\to K$ tel que$\varphi_\alpha=\phi\circ j_\alpha$.
    Notations:
    • $J$ est un ensemble quelconque, $G_\alpha$ sont des groupes
    • $j_\alpha:G_\alpha\to \ast_{\alpha\in J}G_\alpha,g\mapsto g$ l'homomorphisme d'inclusion
  • Certes. Je n'avais pas compris ce qie tu voulais dire par "en supprimant l'hypothèse sur les relations".
  • Modifié (26 Nov)
    Dans mon cours il n'y a pas de propriété universelle par rapport aux présentations, il n'y a que la définition par rapport au quotient.
    D'ailleurs je trouve qu'il reste quand même un problème dans l'exemple que tu m'as cité, pourquoi ça ne marche pas ?
  • Modifié (26 Nov)
    Les relations jouent un rôle fondamental dans la propriété universelle d'un groupe de présentation donnée. Aurais tu zappé la partie importante de l'explicitation de cette propriété universelle
    Un groupe $G$ de présentation donnée par des générateurs $a_1,\ldots,a_n$ et des relations $r_1(\mathbf a),\ldots ,r_p(\mathbf a)$ fonctionne comme ça : pour tout groupe $H$ muni d'éléments $h_1,\ldots,h_n$ VÉRIFIANT $\Large r_1(\mathbf h)=\cdots=r_p(\mathbf h)=e$, il existe un unique morphisme de groupes $f :G\to H$ tel que $f(a_i)=h_i$ pour $i=1,\ldots,n$.
  • Modifié (27 Nov)
    Oui j'ai bien lu j'ai juste dit que je n'avais pas vu cette propriété universelle en particulier et que la première proposition que j'ai postée me paraissait identique mais peut-être que non.
  • Modifié (27 Nov)
    C'est dommage qu'on te parle de propriété universelle sans expliciter celle d'un groupe de présentation $\langle G\mid R\rangle$.
    Quelle première proposition ?

    Je refais tout en détail. $F$ le groupe de présentation $\langle t\mid \ \rangle$, $G$ le groupe de présentation $\langle u,v\mid uv^{-1}\rangle$.
    J'applique les p.u. : il y a un unique morphisme $\varphi : F\to G$ qui envoie $t$ sur $u$ (aucune relation à vérifier). Il y a un unique morphisme $\psi : G\to F$ qui envoie $u$ sur $t$ et $v$ sur $t$ (relation à vérifier $\psi(u)\psi(v)^{-1}=t\,t^{-1}=e$).
    Le composé $\psi \circ \varphi$ envoie $t$ sur $t$ ; or l'unique morphisme $F\to F$ qui envoie $t$ sur $t$ est l'identité, donc $\psi \circ \varphi =\mathrm{Id}_F$.
    Le composé $\varphi\circ \psi$ envoie $u$ sur $u$ et $v$ sur $u$, mais $u=v$ dans $G$ : or l'unique morphisme $G\to G$ qui envoie $u$ sur $u$ et $v$ sur $v$ est l'identité, donc $\varphi\circ \psi= \mathrm{Id}_G$.
    Conclusion $F$ et $G$ sont isomorphes.

    C'est un peu lourd. Avec un peu d'habitude on voit que $\langle t\mid \ \rangle$ ou $\langle u,v\mid uv^{-1}\rangle$ ou $\langle r,s\mid r^2s\rangle$ par exemple, c'est en fait la même propriété universelle.
  • Merci beaucoup c'est très clair!
  • Bonjour, une autre petite question. Je vois très bien comment appliquer la propriété universelle lorsqu'il s'agit d'établir l'isomorphisme entre deux groupes de présentations, mais s'il n'y en a qu'un comment fait-on? Par exemple dans mon cours, il est écrit que $\mathbb Z^2=\mathbb Z\times \mathbb Z=\{(n,m)\mid n,m\in \mathbb Z\}\simeq\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle$.

    Si j'essaie directement d'établir l'isomorphisme entre l'espace quotient en utilisant le 1er théorème d'isomorphisme comme avant, je me retrouve coincé encore une fois:$$\begin{align*}\varphi:F(E) &\to \mathbb Z^2\\ a &\mapsto (1,0)\\ b &\mapsto (0,1)\\ \varnothing  &\mapsto (0,0)\end{align*}$$Alors on voit que $aba^{-1}b^{-1}\in \ker \varphi$ et donc que le sous-groupe normal engendré $\langle \langle \{aba^{-1}b^{-1}\}\rangle \rangle \triangleleft \ker \varphi$, mais je ne vois pas comment faire l'autre inclusion...
  • La propriété universelle associée aux présentations de groupe parle des morphismes du groupe de présentation donnée dans un autre groupe, pas des morphismes à valeurs dans ce groupe de présentation donnée.
    Ici la propriété universelle te donne un morphisme de $G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle$ dans $\Z^2$ qui envoie $a$ sur $(1,0)$ et $b$ sur $(0,1)$. Dans l'autre sens on peut démontrer que l'application $(n,p)\mapsto a^nb^p$ est bien un homomorphisme de groupes puisque la relation impose à $a$ et $b$ de commuter. Le composé $\Z^2\to \Z^2$ est l'identité, et le composé $G\to G$ aussi puisque c'est l'unique morphisme qui envoie $a$ sur $a$ et $b$ sur $b$.
  • Je vois merci  :)
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