Homomorphisme surjectif groupe libre
Bonjour, soit $G$ un groupe, $E\subset G, F(E)=\{\text{mots en }t_\alpha\mid \alpha\in E\}\ $ et $\phi_E:F(E)\to G,\ \phi_E(t_{\alpha_1}^{k_1}\cdots t_{\alpha_m}^{k_m})=\alpha_1^{k_1}\cdots \alpha_m^{k_m}\in G$.
J'ai la propriété suivante dans mon cours: $\phi_E$ est un homomorphisme surjectif $\iff \langle E \rangle=G$.
Pour $\impliedby$ c'est assez évident. Mais pour $\implies$ mon prof utilise un raisonnement par la contraposée que je ne comprends pas alors que moi je trouve que c'est évident si on note tout simplement que pour $t_{\alpha_1}^{k_1}\cdots t_{\alpha_m}^{k_m}\in F(E),\ \phi_E(t_{\alpha_1}^{k_1}\cdots t_{\alpha_m}^{k_m})=\alpha_1^{k_1}\cdots \alpha_m^{k_m}\in \langle E \rangle$ par définition de $\langle E \rangle$ non ?
J'ai la propriété suivante dans mon cours: $\phi_E$ est un homomorphisme surjectif $\iff \langle E \rangle=G$.
Pour $\impliedby$ c'est assez évident. Mais pour $\implies$ mon prof utilise un raisonnement par la contraposée que je ne comprends pas alors que moi je trouve que c'est évident si on note tout simplement que pour $t_{\alpha_1}^{k_1}\cdots t_{\alpha_m}^{k_m}\in F(E),\ \phi_E(t_{\alpha_1}^{k_1}\cdots t_{\alpha_m}^{k_m})=\alpha_1^{k_1}\cdots \alpha_m^{k_m}\in \langle E \rangle$ par définition de $\langle E \rangle$ non ?
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