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Somme des diviseurs d'un entier

Modifié (25 Nov) dans Arithmétique
Bonjour à tous ! 
J'ai rencontré quelques problèmes sur les notes de mon professeur et j'aimerais avoir un peu plus d'éclairage par rapport ! 
L'idée est de fabriquer des nombres tels que la somme de leurs diviseurs soit un carré parfait ! 
Et après faire une généralisation. 

Pour cela il commence par considérer ces quelques cas. 
Si on note par $p(n)$ la somme des diviseurs de $n$, alors 
$p(2)=3,  p(3)=2^{2},  p(5)=2\times3,  p(7)=2^{3} , p(11)=2^{2}\times3,  p(13)= 2\times 7,  p(17)= 2 \times 3^{2},  p(19)= 2^{2} \times 5,  p(23)= 2^{}3 \times 3$.
En utilisant l'une des propriétés de la fonction $p$ qui est $p(mn)=p(m)p(n)$ si $n$ premier avec $m$, alors on peut construire des différents produits tels que le résultat soit un carré parfait ! 
Par exemple $p(22)=p(2)p(11)=2^{2} \times 3^{2}.$
Ce que je ne comprends pas c'est quand il fait le comptable de toutes les combinaisons possibles du produit de ces 9 termes telles que la somme des puissances du résultat soit congrue à 0 modulo 2. 
Il dit que le nombre de ce type de combinaisons est de $2^{5}-1$. 
Pour cela, il écrit chaque terme des $p(n)$ sous cette forme $2^{a}\times3^{b}\times 5^{c}\times7^{d}$. Et ensuite il dit qu'il regarde juste les quadruplets $(a,b,c,d)$ et s'intéresse au sous-espace tel que la somme de ces vecteurs soit congrue à $(0,0,0,0) \mod 2$. 
Je n'arrive pas comment comment il utilise tout cela pour obtenir le résultat $2^{5}-1.$
Merci de vos réactions.
[En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]

Réponses

  • Modifié (25 Nov)
    Quelques idées ici :
    La somme des diviseurs de $n$ se note $\sigma(n)$ ou $\sigma_1(n)$.

  • Modifié (25 Nov)
    Ce que je retiens de ce sabir, c'est la remarque intéressante selon laquelle, pour les neuf premiers nombres premiers $p$, de $2$ à $23$, les $\sigma(p)$ n'ont pour facteurs premiers que $2$, $3$, $5$, $7$. On se demande pourquoi le professeur s'est arrêté à $23$, puisque c'est encore vrai pour les deux nombres premiers suivants :  $29$ et $31$, mais plus pour $37$.
    Comme il est dit, les  $\sigma(p)$ sont donc de la forme : $2^{a}\times3^{b}\times 5^{c}\times7^{d}$ et comme on s'intéresse à la parité des exposants, on regarde les quadruplets $(a,b,c,d)$ dans $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$, mais là je ne comprends plus car ça fait $2^4$ et non $2^5-1$. Il faudrait donner de meilleures explications, de préférence dans un français correct.
  • La suite des nombres dont la somme des diviseurs est un carré parfait est référencée par l'OEIS : A6532
  • Modifié (25 Nov)
    J'arrivais aussi à 16 (ou même 15, si j'exclue 1 qui est trivial)
    Et je préfère écrire 15 que $2^4-1$, parce que les opérations à faire pour arriver à 15 ne sont pas réellement une suite de multiplication par 2.
    15 combinaisons, c'est peu. Pour bien appréhender l'exercice, je pense qu'il faut lister toutes ces combinaisons.
    Si on prend en compte 29, alors l'exercice change beaucoup. Certes, 29 donne 2*3*5, avec ce facteur 5, mais du coup, 29 et 19 contiennent tous les 2 le facteur 5. Et donc, les nombres de la forme 19*29*k peuvent convenir (avec k=5 par exemple)
  • Modifié (25 Nov)
    Merci. 
    Pouvez-vous expliciter votre méthode de comptage ?  C'est en fait l'une de mes préoccupations
  • Modifié (25 Nov)
    On veut un nombre qui soit un carré parfait.
    Les facteurs $13$ et $19$ sont donc exclus. $13$ amènerait un facteur $7$, et ce facteur $7$ ne peut pas être élevé au carré, parce que aucun des autres nombres envisagés n'amènerait de facteur $7$. Et idem pour $19$, qui amènerait un facteur $5$.
    Donc on cherche un nombre du type  $2^a \times 3^b \times 5^c \times 7^d \times 11^e \times 17^f$ , avec $a,b,c,d,e,f$ tous à choisir entre $0$ et $1$. 
    Regardons les facteurs $3$ dans notre nombre.
    Ils peuvent provenir de $p(2)$, $p(5)$ ou $p(11)$. 
    Chacun peut amener un facteur $3$ dans le résultat. Et on veut que $3$ soit présent au final avec un exposant pair.
    On doit donc choisir exactement $0$ ou $2$ nombres parmi $2$, $5$ et $11$.
    Soit $4$ possibilités.  $\{(2,5),(2,11),(5,11)\emptyset\}$
    Quasiment pareil pour le facteur $2$, on doit choisir exactement $0$ ou $2$ nombres parmi $5, 7$ et $17$.
    Donc $4$ possibilités.
    Avec un petit 'couac', c'est que le nombre $5$ apparaît dans ces 2 listes $(2,5,11)$ et $(5,7,17)$.
    Donc la combinaison de tout ça ne donne pas $4 \times 4=16$ combinaisons mais seulement $8$ combinaisons.
    Et on a le nombre $3$, on peut le sélectionner ou pas, $ p(3)$ était un carré parfait, il n'impacte pas le résultat.
    Donc $8 \times 2=16$ solutions.
    Dans ces $16$ solutions, il y a la solution triviale $2^0 \times 3^0 \times 5^0 \times 7^0 \times 11^0 \times 17^0=1$ ...
    La somme des diviseurs de $1$ est un carré parfait.
    Mais je pense qu'il faut l'exclure de notre comptage.
    [En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]
  • Modifié (25 Nov)
    Lourran, je pense qu'il ne faut pas exclure $(0,0,0,0)$ car comme c'est $\mod 2$, ça ne correspond pas forcément à $1$.
    Et on écrit : j'exclus. Ce n'est pas le verbe excluer, qui a le tort de ne pas exister.
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • Modifié (26 Nov)
    Chaurien a dit :
    Quelques idées ici :
    La somme des diviseurs de $n$ se note $\sigma(n)$ ou $\sigma_1(n)$.
    Merci pour cette référence ! 
    J'ai parcouru cette référence et j'ai vu beaucoup de nombres vérifiant les propriétés ci-dessus mais j'aimerais savoir si :
    $-$ il existe une infinité de k tel que la somme des diviseurs de k^2 soit un carré parfait,
    $-$ il existe une infinité de k tel que la somme des diviseurs de k^3 soit un carré parfait,
    $-$ il existe une infinité de k tel que la somme des diviseurs de k^2 soit un cube parfait,
    $-$ il existe une infinité de k tel que la somme des diviseurs de k^3 soit un cube  parfait.
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