Équivalent des nombres de Bernoulli à l'infini

L2M

Bonsoir

Existe-t-il une démonstration pour $$B_{2n} \sim (-1)^{n-1} \frac {2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\quad ?$$ sans passer par la relation $$B_{2n} = (-1)^{n-1} \frac {2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n).$$

Merci.

Chaurien

Pourquoi s'interdire de passer par là ?

L2M

Le théorème de Cesàro dit que, lorsque la suite $(u_n)$ a une limite, la moyenne de Cesàro $\displaystyle m(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} u_k$ possède la même limite. D'où la question

Soit $(u_n)$ une suite divergente ($u_n\rightarrow +\infty$). Considérons la suite de Cesàro suivante : $\displaystyle L_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}u_k$. Supposons que $u_n \sim v_n$. que peut-on dire de l'équivalent de $L_n$ ?

 Exemple. Si on prend $(u_n)=(B_n)$, la suite des nombres de Bernoulli, on aura

$$ L_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_k = \frac{B_n}{n}  \quad  ; \quad n\geq 2.$$

 C'est pourquoi je cherche une démonstration de l'équivalent de $B_n$ pour la généraliser pour $L_n$.

[Bernoulli prend toujours une majuscule. AD]

Poirot

Je ne sais pas, mais on peut au moins faire l'observation simple suivante, qui donne moralement le bon ordre de grandeur.

Par définition, la fonction $z \mapsto \frac{z}{e^z-1}$ a pour développement en série entière au voisinage de $0$ la série $$\sum_{n \geq 0} \frac{B_n}{n!} z^n.$$ Sa singularité la plus proche de $0$ est en $2 i \pi$, et donc la théorie générale des fonctions holomorphes nous dit que cette série entière a pour rayon de convergence $2\pi$. La formule d'Hadamard pour le rayon de convergence nous donne donc $$\frac{1}{2 \pi} = \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{B_n}{n!}}.$$