Équation dont les racines sont les moyennes des racines d'une équation cubique

Piteux_gore

Bonjour,
Démontrer que, si $f(x) = 0 \ (1)$ est une équation cubique, alors l'équation (cubique) admettant pour racines les moyennes arithmétiques des racines de $(1)$ prises deux à deux est donnée par la relation $f(x)f'''(x) - 3f'(x)f''(x) = 0$.
Le procédé employé n'est pas le plus simple pour le degré $3$, mais il présente l'avantage d'être applicable à une équation quartique, quintique, etc.
A+

Rescassol

Bonjour,

syms s1 s2 s3 x a b c

A=(b+c)/2; B=(c+a)/2; C=(a+b)/2;

f0(x)=x^3-s1*x^2+s2*x-s3;
f1(x)=diff(f0(x),x);
f2(x)=diff(f1(x),x);
f3(x)=diff(f2(x),x);
g(x)=f0(x)*f3(x)-3*f1(x)*f2(x);
g(x)=collect(-g(x)/6,x);

% On trouve g(x) = 8*x^3 - 8*s1*x^2 + 2*(s1^2+s2)*x + (s3-s1*s2)

S1=FracSym(A+B+C);
S2=FracSym(A*B+B*C+C*A);
S3=FracSym(A*B*C);

% On trouve:

S1=s1;
S2=(s1^2+s2)/4;
S3=(s1*s2-s3)/8; % Ce qui correspond bien à g(x), donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol

Piteux_gore

RE
La preuve repose sur la formule de Taylor et les deux préliminaires suivants :
-- deux racines de $P(x)$ ont pour somme $2s$ si $P(x+s)$ a deux racines opposées ;
-- $P(x)$ a deux racines opposées si les deux polynômes en $x^2$ que sont le sous-polynôme pair (formé des termes de degré pair) et le sous-polynôme impair divisé par $x$  ont une racine commune.
Cette technique a été signalée par Lambert au 18ème siècle et par Prouhet au 19ème siècle (NAM).
A+ 

Piteux_gore

RE
En remplaçant $P(x+s)$ par $P(x+s/2)$, on obtiendra l'équation aux sommes au lieu de l'équation aux demi-sommes.
A+