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Associativité produit libre

Modifié (24 Nov) dans Algèbre
Bonjour, je bloque pour la démonstration que je trouve pas très triviale. Là j'ai écrit trois pages et plus j'explore le problème plus j'ai l'impression qu'il y a de cas à traiter... Est-ce que vous avez une piste qui rend la chose plus simple? Merci.

Réponses

  • Les deux groupes $(G\star H)\star F$ et $G\star (H\star F)$ représentent des foncteurs naturellement isomorphes, ils sont donc canoniquement isomorphes.
  • Je ne connais pas ces notions NoName. Si la démo est hors de ma portée je laisse tomber ce n'est pas très grave. Je mets quand même en pièce jointe un résumé de ma tentative. J'espère que c'est lisible (je n'ai pas une bonne écriture pardonnez-moi  :) )
  • Modifié (24 Nov)
    Je ne comprends pas. Tu veux montrer l'associativité dans le groupe produit libre de deux groupes, c'est-à-dire que le produit libre est un groupe, ou tu veux démontrer l'associativité de l'opération produit libre, qui à deux groupes, associe leur produit libre.
    Je répondais à la seconde question. La première est simplement (une partie de) l'existence du produit libre, tu veux refaire cette démonstration ? 
  • Oui c'est la première.
  • Modifié (24 Nov)
    Tu peux procéder comme suit, si $G, H$ sont tes deux groupes alors tu as une application de concatenaton $\text{Mot}(G \sqcup H)\times\text{Mot}(G \sqcup H)\to \text{Mot}(G \sqcup H) $ qui est clairement associative et qui de $\text{Mot}(G \sqcup H)$ un monoïde.

    Le produit libre $G\star H$ est le monoide quotient de $\text{Mot}(G \sqcup H)$ par le sous monoïde normal engendré par $g.g'.{g''}^{-1}$, $h.h'.{h''}^{-1}$, ${g''}^{-1}.g.g'$, ${h''}^{-1}.h.h'$, pour tout les triplets de $G$, $(g,g',g'')$ avec $g''=g.g'$ et pareil pour $H$, et $1_G.h.h^{-1}$, $1_H.g.g^{-1}$, $hh^{-1}.1_G$, $g.g^{-1}.1_H$ pour tout $g$ et tout $h$.

    Le groupe libre est le monoïde quotient, et la structure induite, lui confère une structure de groupe. 
    Maintenant il y a un fait non trivial à prouver, c'est qu'il y a une bijection du quotient avec les mots réduits de $G \sqcup H$, ça c'est un théorème.
    Une fois que tu as cette bijection, le fait que la concaténation dans le groupe des mots réduits soit associative découle tu fait qu'elle est induite par celle sur le groupe qu'on vient de de définir.
  • En fait je veux rester sur la première partie car pour moi c'est l'application de concaténation qui n'est pas clairement associative. Si je la note $\varphi$ alors soit $m_1,m_2,m_3\in \text{Mot}(G \sqcup H),\; m_1=a_1\dots a_n,m_2=b_1\dots b_m,m_3=c_1\dots c_l$. Comment montrer que $\varphi(\varphi(m_1,m_2),m_3)=\varphi(m_1,\varphi(m_2,m_3))$?
  • Modifié (25 Nov)
    Les deux membres valent $$a_1\cdots a_nb_1\cdots b_mc_1\cdots c_\ell$$
  • Ah mais je crois qu'on s'est mal compris... Je croyais que cette application de concaténation comprenait l'opération de réduction dans sa définition. Bon s'il faut vraiment passer par ce que tu as écris pour cette dernière partie, je vais reprendre un peu plus tard car il y a des notions que je ne maîtrise pas encore assez, merci pour ton aide.
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