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Modifié (23 Nov) dans Analyse
Bonsoir
Je bloque sur cet exercice.

Soient $a_1, \cdots, a_n$ des entiers strictement positifs. Pour tout $k \in [|1,n|]$ on note $m_k = \max\limits_{1 \leq \ell \leq k} \dfrac{a_{k-\ell+1} +a_{k-\ell+2}+ \cdots + a_{k}}{ \ell}$.
Montrer que $\forall \alpha >0,\ \mathrm{card} \{ k \in [|1,n|]  \mid  m_k > \alpha \} < \dfrac{a_1+ \cdots +a_n}{\alpha}$.

Réponses

  • Comme d’habitude…
    En lisant cet énoncé, je ne sais pas le faire. 
    Là, je n’ai pas envie de le chercher.

    Si c’était un objectif, je commencerais avec des cas particuliers très simples pour mieux comprendre ce dont on me parle. Puis des cas moins particuliers avec un tout petit nombre de $a_i$. 
    Puis, etc.

    Disons-le vulgairement : je me sortirais les doigts. 
    Je ne reviendrais pas pour avancer dans ce problème. 
    Sauf si un travail conséquent est apporté. Ce dont je doute puisque des intervenants vont encore apporter des pages et des pistes et faire le boulot. 
  • On pourrait commencer par montrer que le rapport du Jury est connexe par arc. 
  • Modifié (23 Nov)
    Commence déjà par des exercices d'application directe du cours de lycée avant de tenter ce genre d'exos.
    Et comme toujours, réapprends la logique de A à Z, c'est juste complètement anormal que tu aies besoin de demander à chaque ligne si c'est juste ou faux, tant que tu ne sais pas vérifier tes preuves tout seul inutile d'aller plus loin.
  • Modifié (23 Nov)
    Chalk j'ai bossé le devoir maison de Rescassol en entier récemment.

    Dom d'accord merci. Rien que la définition de $m_k$ n'est pas si évidente. Et sur un exemple simple je ne trouve pas d'idée de preuve, même si j'ai mieux compris l'exercice.
    Je prends $a_i = i$ pour tout $i \in [|1,n|]$ avec $n=3$.
    J'ai donc $m_1= a_1 =1$, $m_2=\max (a_1 , \dfrac{a_1+a_2}{2} )= \max(1, 3/2)=3/2$ , $m_3=\max (a_1 , \dfrac{a_1+a_2}{2}, \dfrac{a_1+a_2 +a_3}{3} )=2$.
    Soit $\alpha >0$.
    Prenons $\alpha=1$. $card( \{ k \in [|1,3|] \ m_k > 1 \}= 2$ et $\dfrac{a_1 + a_2 + a_3}{1}=5 >2$ le résultat est vérifiée.
  • "même si j'ai mieux compris l'exercice."

    Donc , vraiment, tu n'avais même pas pensé à chercher à la main, sur des petites valeurs, comment ça marchait ? 
    Il a fallu que Dom te donne ce conseil !!!

    100 fois, tu as posé des questions, 100 fois, les gens t'ont dit qu'il faut manipuler les données, chercher ...

    Et pour le 101ème exercice, tu n'as toujours pas retenu ce conseil ?  Au 1000ème exercice, il faudra encore te donner ce conseil ?
  • Cet exercice est-il difficile ? 
  • Sur quelle échelle. 
    Sur une échelle allant de Kangourou à Spé, Il ne peut pas être difficile, puisque dans l'alphabet, D n'est pas entre K et S.

  • Modifié (23 Nov)
    Tiens Oshine pour voir si tu as progressé. 2 petits exos, prends 5 minutes pas plus  chacun pour les chercher. Si t'y arrives pas, pas grave.
    1) Trouver la limite de la suite $\frac{1}{n\sin(n)}$ 
    2) Soit $f$ une fonction infiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ f^{(n)}(x) = 0$. Montrer que $f$ est un polynôme.
  • Où as-tu trouvé cela @OShine ? Ce n'est pas un exercice facile !
  • Modifié (23 Nov)
    C'est bizarre vu l'énoncé j'aurais dit que sur l'exemple d'@OS   $m_3=\max\Big(  a_3,\dfrac{a_2+a_3}2,\dfrac{a_1+a_2+a_3}3\Big) $
    et non $m_3=\max\Big(  a_1,\dfrac{a_1+a_2}2,\dfrac{a_1+a_2+a_3}3\Big) $

    Pas  si évident comme exo pour @OShine

    Alors  voici une indication tout de même:   Remarquer que la fonction $\alpha \mapsto card( max (m_k)>\alpha)$ est décroissante
  • Bonsoir @OShine,
    N'a-t-on pas plutôt $m_2=\max\left(a_2,\dfrac{a_1+a_2}2\right)$, $m_3=\max\left(a_3,\dfrac{a_2+a_3}2,\dfrac{a_1+a_2+a_3}3\right)$, etc. ?
  • Philippe Malot merci pour la correction.

    Sol un entraînement pour les olympiades. 

    @Noobey 5 min je ne suis pas sûr ils ont l'air costauds. 

    1) Après 25 min de réflexion, je n'ai pas réussi, j'ai tenté $-1 \leq \sin(n) \leq 1$ mais un problème en $0$ m'a bloqué, la fonction $x \mapsto 1/x$ n'étant pas définie en $0$, $\R^{*}$ n'est pas un intervalle. 

    2) J'ai une idée. Soit $x \in \R$. Supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $f^{(n)} (x)=0$ 

    Montrons par récurrence sur $k \in [|0,n|]$ que $f^{(n-k)} (x)$ est un polynôme. (Je n'ai pas résolu mon problème de savoir si c'est une récurrence descendante ou pas car je devrais commencer à $k=n$ mais ce n'est pas logique, je ne comprends pas trop)

    Pour $k=0$, c'est évident.

    Supposons que $f^{(n-k)} (x)$ est un polynôme. Posons $f^{(n-k)} (x) =\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k $

    On a $f^{(n-(k-1)} (x) =\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \dfrac{x^{k+1}}{k+1} $ c'est bien un polynôme.

    Mais l'idée est d'intégrer terme à terme $n$ fois pour obtenir $f$. $x$ étant fixé, c'est valable pour tout $x$ et $f$ est un polynôme.


  • Modifié (23 Nov)
    Les 2 exos étaient des pièges et sont très difficiles. Pour ça que j'ai dit de ne pas passer trop de temps.
    Ok pour la 1 tu n'es pas tombé dans le piège bien joué. Pour le 2 tu es tombé dedans la tête la première.
  • L'exo est intéressant et clairement hors de portée de l'OP.
    J'ai l'impression qu'une récurrence forte fait le travail et j'aimerais bien voir une preuve probabiliste car ça ressemble fort à l'inégalité de Markov...
  • Noobey ah d'accord. Mon erreur dans le $2$ c'est que $n$ dépend de $x$ ? 

    JLapin c'est quoi l'OP ? 
    Une solution est disponible mais je ne l'ai pas lue.

    La première ligne considère $k_1 = \max \{ k \in [|1,n|] \ | m_k > \alpha \}$ puis il s'agit de construire une suite finie $k_1 > k_2 > \cdots > k_r$


  • JLapin, c'est une version discrète de l'inégalité maximale de Hardy et Littlewood. Ça se prouve joliment en adaptant le lemme du soleil levant.
  • Modifié (24 Nov)
    Oshine peux tu corriger ton m2 et m3 ?
    Puis ensuite faire un autre essai avec par exemple les ai qui valent 3;2;1 au lieu de 1;2;3, puis 3;1;2, puis 1;3;2, etc...
  • Bonjour.

    Que de salades! On part d'une liste $a_k, k=1..n$. On fabrique une liste $b_k, k=1..n$ et on se demande quel est le maximum de la fonction
    $$\alpha \mapsto \alpha \times add('if'(b_k>\alpha,1,0), k=1..n).$$ On en trace le graphe.
    C'est une ligne brisée. Les abscisses $x_k$ des points anguleux s'obtiennent en triant la liste $b_k$. Les ordonnées sont les $y_k=(n+1-k)\,x_k$ et $y'_k=(n-k) \,x_k$ \[ \begin {array}{lrrrrrr} a_k&32.0&74.0&4.0&27.0&8.0&69.0\\ b_k&32.0& 74.0& 39.0& 35.0& 29.0& 69.0\\ x_k&29.0& 32.0& 35.0& 39.0& 69.0& 74.0\\ y_k&174.0& 160.0& 140.0& 117.0& 138.0& 74.0\end {array}  \]

    On trie la liste initiale et on recommence.


    \[   \begin {array}{rrrrrr}  74.0& 69.0& 32.0& 27.0& 8.0& 4.0 \\ 74.0& 71.50& 58.33& 50.50& 42.0& 35.67 \\ 35.67& 42.0& 50.50& 58.33& 71.50& 74.0 \\ 214.0& 210.0& 202.0& 175.0& 143.0& 74.0 \end {array} 
    \]

    Il est tout à fait clair que les  nouveaux $b_k$ majorent les anciens, et que le max de la nouvelle fonction est la somme de la liste initiale. Cet exercice est dont particulièrement difficile: colle forte, récurence forte et moutarde forte ne sont pas de trop pour prouver que effectif fois moyenne égal somme. Sans parler de Hardy-Littlewood, et même des frères Groucho.  

    Cordialement, Pierre.
  • Modifié (24 Nov)
    Sol je reprends le corrigé que j'ai et j'essaie de démontrer les passages intermédiaires un peu rapides. Vu que l'exercice est très difficile, je ne le trouverai jamais seul. 

    Soit $k_1$ le plus grand entier $k$ tel que $m_k > \alpha$. Il existe $l_1$ tel que $a_{k_1-l_1+1} + \cdots + a_{k_1} >l_1 \alpha$

    Soit $k_2$ le plus grand entier $\leq k_1 -l_1$ tel que $m_k > \alpha$. Il existe $l_2$ tel que $a_{k_2-l_2+1} + \cdots + a_{k_2} >l_2 \alpha$

    Un souci de compréhension se pose déjà, pourquoi $k_1$ existe ? 
    Pourquoi un élément plus petit que $k_1 -l_1$ existe aussi ? 


  • Je ne comprends pas le passage surligné en rouge non plus.


  • Modifié (24 Nov)
    Avec mon conseil que tu as négligé  ($f(\alpha)$ est   décroissante)  tu ne poserais pas  cette question de savoir ce qu'il se passe quand $k_1$  n'existe pas. 
    On est à deux à t'avoir fait remarquer que $m_2$ et $m_3 $  sont faux. Pourquoi tu ne corriges pas ? 
    Pourquoi tu ne fais pas l'exercice avec $n=2$ et $3$  et avec un exemple ? 
    Quand tu ne suis pas les conseils, le mieux et de te laisser te débrouiller seul avec le  corrigé et le rapport du jury.
  • Il n'y a pas de rapport de jury, c'est un entraînement pour les sélections des Olympiades françaises de mathématiques. 

    Rien que pour $n=2$ je ne sais pas le démontrer. Ca a l'air déjà très difficile. 

    Si $n=2$ alors $m_1=a_1$ et $m_2=\max (a_2,\dfrac{a_1+a_2}{2} )$

    Soit $\alpha >0$ On doit montrer que le nombre d'entier $k$ tel que $a_1 > \alpha$ et $\max (a_2,\dfrac{a_1+a_2}{2} ) > \alpha$ est strictement plus petit que $\dfrac{a_1+a_2}{\alpha}$

    Si $a_1 =2$ et $a_2=1$ alors $m_1=2$ et $m_2=2$

    On a $\dfrac{a_1+a_2}{ \alpha} = \dfrac{3}{\alpha}$


  • Pourquoi faire un exercice auquel tu ne comprends rien, et qui manifestement est trop dur pour toi ?
    Cordialement
  • Pour la question 2 de noobey c’est le théorème de Corominas Sunyer y Balaguer 

    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/182918#Comment_182918
  • Modifié (24 Nov)
    Skazeriahm pourquoi tu dis que je ne comprends rien ?
    Je comprends l'exercice. Je ne sais pas le faire et ça ça arrive souvent en maths. 
    Mais le corrigé manque du rigueur. Et il n'explique pas des détails importants. 
    Il faudrait justifier l'existence des $k_i$.
  • solsol
    Modifié (24 Nov)
    Jolis dessins @pldx1 ! Tu pourras demander à ta maman de les afficher sur le frigo.

    Plus sérieusement, j'ai cité Hardy--Littlewood en réponse à JLapin (qui pensait Markov). La preuve correspond tout à fait au corrigé donné par OShine dans ce cas. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?


  • Modifié (24 Nov)
    Skazeriahm dit que tu ne comprends rien, parce que tu ne comprends rien. 
    Dans 2 semaines, reprends le même exercice. Exactement le même.
    Et essaie de le faire. Sans lire le corrigé, sans lire cette discussion.
    Tout le monde sait que tu ne sauras pas faire cet exercice. Toi aussi tu le sais.
  • Sol je ne comprends pas pourquoi $k_1$ et $k_2$ existent.

    Ensuite la phrase en rouge je ne la comprends pas.

    Lourrran j'ai vu des exercices de mpsi et mp dans mon livre bien plus durs que cet exercice.
    L'énoncé est simple à comprendre. 
  • solsol
    Modifié (24 Nov)
    OShine, le procédé de construction te décrit une suite finie $(k_i)_{1\leq i\leq r}$, mais il se peut tout à fait que $r = 0$, auquel cas $k_1$ et $k_2$ n'existent pas. Est-ce ça change quelque chose à la démonstration ?
    À mon avis tu ferais mieux de passer à autre chose. Tu peux réussir à comprendre la correction, mais tu n'en tireras rien.
  • Modifié (24 Nov)

    @sol Merci pour les infos.
    @pldx1 Je ne comprends toujours pas le pourquoi du comment de ton agressivité.
  • Modifié (24 Nov)
    Sol la phrase surlignée est vraie car il se peut que certains intervalles ne contiennent pas de $k$ qui vérifie $m_k > \alpha$ du coup j'ai compris je crois.
    Étrange cet exercice. C'est quand même dur. 
  • Un exercice n'est ni difficile ni facile.
    Dire qu'un exercice est difficile, sans préciser plus, ça n'a pas de sens.
    Un exercice est posé dans un certain contexte, à destination d'un certain public. Une fois le public visé précisé, et seulement à ce moment là, on peut dire que tel exercice est facile ou difficile.
    Toi, tu passes d'exercices de niveau collège à des exercices de niveau maths spé, (sans passer par la case lycée, lol).
    Et  même sur les exercices de niveau collège, tu es en difficulté.

    Quand tu regardes les exercices de niveau maths spé, tu n'es pas dans le public visé, tu n'es pas dans le domaine de définition.
  • Modifié (25 Nov)
    OShine a dit :
    On doit montrer que le nombre d'entier $k$ tel que $a_1 > \alpha$ et $\max (a_2,\dfrac{a_1+a_2}{2} ) > \alpha$ est strictement plus petit que $\dfrac{a_1+a_2}{\alpha}$
    Si $a_1 =2$ et $a_2=1$ alors $m_1=2$ et $m_2=2$
    On a $\dfrac{a_1+a_2}{ \alpha} = \dfrac{3}{\alpha}$
    Mais relis-toi bon sang, ça n'a aucun sens mathématique ! ton k... Sinon, si tu veux réellement comprendre ce qu'il se passe dans cet exercice, travaille sur des exemples et avec méthode. Je t'avais conseillé ceci : faire un autre essai avec par exemple les ai qui valent 3;2;1 au lieu de 1;2;3, puis 3;1;2, puis 1;3;2, etc...
  • Modifié (25 Nov)
    Bonjour,

    (1) Démontrer que

    \[ \forall\alpha>0,\ \mathrm{card}\{k\in[|1,n|]\mid m_{k}>\alpha\}<\dfrac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{\alpha} \] équivaut à poser $M\doteq\left\{ m_{1},\cdots,m_{n}\right\} $ et à montrer que la fonction  \[ f\doteq\alpha\mapsto\alpha\times\mathrm{card}\{m\in M\mid\alpha<m\} \]  admet $a_{1}+\cdots+a_{n}$ comme majorant strict. (Il s'agit, en un certain sens, d'une borne supérieure non atteinte).

    (2) La fonction $f$ est affine par morceaux. Ses points anguleux sont $\left(x_{k},\left(n+1-k\right)x_{k}\right)$ et $\left(x_{k},\left(n-k\right)x_{k}\right)$ où les $x_{k}$ sont obtenus en triant les $m_{k}$ dans le sens croissant.

    (3) On trie la liste $A$ par valeurs décroissantes, on appelle $\mu_{k}$ les nouvelles valeurs des $m_{k}$ et $\phi$ la nouvelle valeur de $f$. On a alors $\forall k,m_{k}\leq\mu_{k}$ et $f\leq\phi$

    (4) On en appelle à la récurence forte, Hardy-Littlewood, Corominas Sunyer y Balaguer, Baire-Schwartzengloup and many others, et l'on démontre la propriété clef de cet exercice: \[ \mathrm{effectif\times moyenne=somme} \]

    (5) Et voilà, c'est fini. On peut même superposer les graphes 1 et 2 de mon message précédent, il serait dommage que sol n'ait rien à afficher sur le frigo de sa maman.



    \[ \begin{array}{c|rrrrrc} a & 99.00 & 29.00 & 44.00 & 92.0 & 31.0 & 67.0\\ m & 99.00 & 64.00 & 57.33 & 92.0 & 61.5 & 67.0\\ x & 57.33 & 61.50 & 64.00 & 67.0 & 92.0 & 99.0\\ y & 344.00 & 307.50 & 256.00 & 201.0 & 184.0 & 99.0 \end{array} \]

    Cordialament, Pierre.
  • Allez je t'aide, voila un document ou tout est automatisé, pour comprendre ce qui se joue derrière ce problème :smile:
    https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-OgC-lloD2BmSBLNKZqBJa9PcSbSTGtC24_5n9pVdtQ/edit?usp=sharing
  • Zgrb il est super bien ton programme  B)
    Merci. 
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