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Un curieux rapport

Modifié (23 Nov) dans Géométrie

Bonjour,

1. ABC       un triangle,

2. (O)        le cercle circonscrit

3. I             le centre du cercle inscrit

4. (Oa)      le A-mixtilinear incircle de ABC

5. Q, R      les points de contact de (Oa) resp. avec (AC), (AB)

6. A*          le point de (Oa) avec (O)

7. M           le second point d'intersection de (AA*) avec (Oa)

8. P           le point d'intersection de (QR) et (BC)

9. J            le point d'intersection de (PM) et (AI).

Question :  JA/JI  = (AB + AC)/BC.

Sincèrement

Jean-Louis

Réponses

  • Modifié (23 Nov)
    Bonjour Pierre,
    merci pour votre aide...comment avez-vous fait? quelle procédure à suivre ?
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour Jean-Louis.

    J'ai converti ton fichier *.pdf en un fichier *.png. J'en ai profité pour faire un "crop" de cette image. Il semble que le phorum affiche les *.png, mais pas les *.pdf. Evidemment, on perd les propriétés vectorielles du *.pdf: il faut prendre une taille de 600 à 800 pour les *.png.

    Cordialement, Pierre.
  • Merci Pierre, c'est bon à savoir !
    J'avais eu des difficultés, il y a quelques jours, à insérer une figure en pdf dans un message ...
    Bien amicalement, JLB
  • Merci Pierre...
    J'expérimenterai cela la prochaine fois...
  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour,

    J'en profite pour redonner cette fiche sur les cercles mixti-linéaires.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Merci, Jean-Louis et Rescassol, de m'avoir fait découvrir ces cercles ! C'est vraiment la première fois que j'en vois !
    Bien amicalement JLB
  • Bonjour, 

    Il y a deux cercles mixtilinéaires relatifs à l'angle $A$. 




    On passe de l'un à l'autre par la transformation de Lemoine qui s'écrit
    $a\mapsto -a$  en barycentriques, $\alpha \mapsto -\alpha$ en représentation Lubin-2 ... et ne s'écrit pas en représentation de Poncelet. D'où  l'intérêt de traduire la feuille de résultats donnée par Rescassol.  $\renewcommand*{\arraystretch}{2.5}$


    \[  \begin{array}{ccccc}  &  &  & \mathrm{Poncelet} & \mathrm{Lubin-2}\\ \hline 1 & A & A & \dfrac{2\,vw}{v+w} & \alpha^{2}\\ 2 & B & B & \dfrac{2\,uw}{w+u} & \beta^{2}\\ 3 & C & C & \dfrac{2\,uv}{u+v} & \gamma^{2}\\ \hline 4 & O & O & \dfrac{2s_{1}}{s_{1}\,\overline{s_{1}}-1} & 0\\ 5 & I_{0} & I_{0} & 0 & -\alpha\,\beta-\alpha\,\gamma-\beta\,\gamma\\ 6 & I_{a} & J_{a} & \dfrac{4\,s_{3}}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)} & \alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-\beta\,\gamma\\ 7 & O_{1} & M_{A} & \dfrac{2\,vw\left(v+w\right)}{\left(v-w\right)^{2}} & \dfrac{\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma+2\,\beta\,\gamma\right)^{2}}{\left(\beta-\gamma\right)^{2}}\\ 8 & O_{2} & N_{A} & \dfrac{2\,vw\left(s_{1}\,s_{2}-9\,s_{3}\right)}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)\left(v-w\right)^{2}} & \dfrac{\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\beta\,\gamma\right)^{2}}{\left(\beta-\gamma\right)^{2}}\\ \hline 9 & R_{1} & M_{AB} & \dfrac{2\,vw}{v-w} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\beta^{2}\left(\gamma+\alpha\right)+2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\gamma-\beta}\\ 10 & R_{2} & N_{AB} & \dfrac{2vw\left(u^{2}+uv-3\,uw+vw\right)}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)\left(v-w\right)} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\beta^{2}\left(\gamma-\alpha\right)-2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\gamma-\beta}\\ 11 & Q_{1} & M_{AC} & \dfrac{2\,vw}{w-v} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\gamma^{2}\left(\beta+\alpha\right)+2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\beta-\gamma}\\ 12 & Q_{2} & N_{AC} & \dfrac{2\,vw\left(u^{2}-3\,uv+uw+vw\right)}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)\left(w-v\right)} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\gamma^{2}\left(\beta-\alpha\right)-2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\beta-\gamma}\\ 13 & A_{1}^{*} & T_{BC} & \dfrac{2\,s_{3}}{vw+s_{2}} & -\dfrac{\alpha\,\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma+2\,\beta\,\gamma\right)}{\gamma+\beta+2\,\alpha}\\ 14 & A_{2}^{*} & S_{BC} & \dfrac{2\,s_{3}\,\left(u^{2}+uv+uw-3\,vw\right)}{\left(uv+uw-2\,vw\right)\left(u+v\right)\left(w+u\right)} & -\dfrac{\alpha\,\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\beta\,\gamma\right)}{\gamma+\beta-2\,\alpha}\\ 15 & P_{1} &  &  & \negthickspace\negthickspace\negthickspace\dfrac{\left(\beta^{2}+\beta\,\gamma+\gamma^{2}\right)\alpha^{2}+2\,\alpha\beta\,\gamma\,\left(\beta+\gamma\right)+\gamma^{2}\beta^{2}}{\alpha^{2}-\beta\,\gamma} \end{array} \]

    Le résultat de JLA est $\overline{J_{1}A}\div\overline{J_{1}I_{0}}=-\left(b+c\right)/a$ et, par transformation continue, on a  $\overline{J_{2}A}\div\overline{J_{2}I_{a}}=+\left(b+c\right)/a$  pour le deuxième cercle.  

    Cordialement, Pierre.
  • Modifié (24 Nov)
    Bonsoir,

    Et voilà le calcul:
    % Jean Louis Ayme - 23 Novembre 2021 - Un curieux rapport
    
    clc, clear all, close all
    
    % On part du triangle de contact UVW
    
    syms u v w
    syms uB vB wB % Conjugués
    
    uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
    vB=1/v;
    wB=1/w;
    
    syms s1 s2 s3;
    syms s1B s2B s3B; % Conjugués
    
    s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
    s2=u*v+v*w+w*u;
    s3=u*v*w;
    
    s1B=s2/s3;         % Conjugués
    s2B=s1/s3;
    s3B=1/s3;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
    b=2*w*u/(w+u); 
    c=2*u*v/(u+v);
    
    aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
    bB=2*wB*uB/(wB+uB);
    cB=2*uB*vB/(uB+vB);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Centre O et rayon R du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC
    
    o=2*s1*s3/(s1*s2-s3);
    oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);
    R=2/(1-s1*s1B);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Centre Oa et carré du rayon Ra2 du rayon du cercle A-mixti-linéaire
    
    oa=2*v*w*(v+w)/(v-w)^2;
    oaB=2*vB*wB*(vB+wB)/(vB-wB)^2;
    Ra2=16*v^2*w^2/(v-w)^4;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    BC=-2*i*u*(v-w)/((u+v)*(u+w));
    CA=-2*i*v*(w-u)/((v+w)*(v+u));
    AB=-2*i*w*(u-v)/((w+u)*(w+v));
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Points de contact Q et R du cercle A-mixti-linéaire et de (AB) et (AC)
    
    q=2*v*w/(w-v); qB=2*vB*wB/(wB-vB);
    r=-q; rB=-qB;
    
    % Point d'intersection P des droites (QR) et (BC)
    
    [pqr qqr rqr]=DroiteDeuxPoints(q,r,qB,rB); % Droite (QR)
    [p pB]=IntersectionDeuxDroites(pqr,qqr,rqr,1,u^2,-2*u);
    
    % On trouve p=2*s3/(v*w-u^2)
    
    % Point de contact A* des cercles A-mixti-linéaires et circonscrit
    
    astar=2*s3/(s2+v*w); astarB=2*s3B/(s2B+vB*wB);
    
    % Point M où la droite (AA*) recoupe le cercle A-mixti-linéaire
    
    [paastar qaastar raastar]=DroiteDeuxPoints(a,astar,aB,astarB); % Droite (AA*)
    
    syms m
    
    mB=-(paastar*m+raastar)/qaastar;
    NulM=numden(Factor(((m-oa)*(mB-oaB)-Ra2))/(m-astar));
    
    % On trouve:
    
    m=2*v*w*(s2+v*w)/(u*(v-w)^2);
    mB=2*vB*wB*(s2B+vB*wB)/(uB*(vB-wB)^2);
    
    % Point d'intersection J des droites (PM) et (AI)
    
    [ppm qpm rpm]=DroiteDeuxPoints(p,m,pB,mB); % Droite (PM)
    
    [j jB]=IntersectionDeuxDroites(ppm,qpm,rpm,aB,-a,0);
    
    j=Factor(j)
    
    % On trouve j=-2*s3/((u-v)*(u- w))
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Calcul de rapports de distance
    
    JA=Factor(a-j);
    JI=Factor(-j);
    
    K1=Factor(JA/JI) % On trouve (u^2+v*w)/(u*(v+w)) qui est réel
    K2=Factor((AB+CA)/BC)
    
    Nul=Factor(K1+K2) % Égal à 0, donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour,

    Maintenant que j'ai compris comment supprimer une image, j'ai pu modifier ma fiche pour rajouter les carrés des rayons des trois cercles, circonscrit, mixti-linéaire intérieur et mixti-linéaire extérieur.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour
    On voit immédiatement sur la figure que le rayon du cercle mixtilinéaire intérieur est $\dfrac{r}{\cos ^{2}\frac{A}{2}}$ où $r$ est le rayon du cercle inscrit.
    De même rayon du cercle mixtilinéaire extérieur est $\dfrac{r_{A}}{\cos ^{2}\frac{A}{2}}$ où $r_{A}$ est le rayon du cercle $A$-exinscrit.

    Bien cordialement. poulbot

  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour,
    merci pour vos contributions...
    Qu'en est-il pour une preuve synthétique ?
    Sincèrement
    Jean-Louis.
  • Modifié (24 Nov)
    Pour ce qui est des rayons, mieux vaut ne pas oublier l'unité de longueur. On a donc :
    \[ r_{0}=\frac{R}{2}\left(1-\dfrac{s_{1}\,s_{2}}{s_{3}}\right)=\frac{R}{2}\left(1-s_{1}\,\overline{s_{1}}\right) \]
    \begin{eqnarray*} R_{int}^{2} & = & \dfrac{4\left(\beta+\gamma\right)^{2}\left(\gamma+\alpha\right)^{2}\left(\beta+\alpha\right)^{2}}{\alpha^{2}\left(\beta-\gamma\right)^{4}}\,R^{2}=\dfrac{16\,v^{2}w^{2}}{\left(v-w\right)^{4}}\,r_{0}^{2}\\ R_{ext}^{2} & = & \dfrac{4\left(\beta+\gamma\right)^{2}\left(\gamma-\alpha\right)^{2}\left(\beta-\alpha\right)^{2}}{\alpha^{2}\left(\beta-\gamma\right)^{4}}\,R^{2}=\dfrac{16\,\left(u-v\right)^{2}\left(u-w\right)^{2}v^{2}w^{2}}{\left(v-w\right)^{4}\left(u+v\right)^{2}\left(u+w\right)^{2}}\,r_{0}^{2} \end{eqnarray*}
     Cordialement, Pierre.
  • Bonjour,

    Oui, bien sûr, Pierre. Avec  Morley inscrit, j'ai toujours $r_0=1$, c'est l'unité.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (25 Nov)
    Bonsoir,

    J'y suis parvenu en barycentriques, mais je suppose que Bouzar aurait fait plus simple et plus rapide.
    % Jean Louis Ayme - 23Novembre 2021 - Un curieux rapport
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC et son aire S
    
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2;
    Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
    Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    
    Sab=Sa*Sb;
    Sbc=Sb*Sc;
    Sca=Sc*Sa;
    
    S2=Sab+Sbc+Sca; % 4 fois le carré de l'aire (donc S2=4*S^2)
    
    s1=a+b+c;
    s2=a*b+b*c+c*a;
    s3=a*b*c;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
    B=[0; 1; 0];
    C=[0; 0; 1];
    
    BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
    CA=[0, 1, 0];
    AB=[0, 0, 1];
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Centre du cercle circonscrit et carré de son rayon
    
    O = [a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
    R2=(a^2*b^2*c^2)/((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c));
    
    % Centre du cercle inscrit et carré de son rayon
    
    I = [a; b; c]; % S2/4 = S^2 = p^2*r^2 = (s1^2/4)*r^2 donc
    r2=S2/s1^2;
    
    % Cercle mixti-linéaire interne
    
    % Droite Dortho passant par I orthogonale à (IA)
    
    IA=Wedge(I,A); % Droite (IA): IA=[0, c, -b]
    Dortho=PgcdBary(DroiteOrthogonaleBary(I,IA,a,b,c)); % Dortho=[2*b*c, -c*(a-b+c), -b*(a+b-c)]
    
    R=Wedge(AB,Dortho); % R=[c*(a-b+c); 2*b*c; 0]
    Q=Wedge(CA,Dortho); % Q=[-b*(a+b-c); 0; -2*b*c]
    
    D1=DroiteOrthogonaleBary(R,AB,a,b,c);
    D2=DroiteOrthogonaleBary(Q,CA,a,b,c);
    
    % On trouve:
    % D1=[4*b*c^3, -2*c^3*(a-b+c), c*(a+b-c)*(a^2+2*a*c-b^2-2*b*c+c^2)]
    % D2=[4*b^3*c, b*(a-b+c)*(a^2+2*a*b+b^2-2*b*c-c^2), -2*b^3*(a+b-c)]
    
    Oa=PgcdBary(Wedge(D1,D2));
    
    % On trouve pour le centre du cercle:
    
    Oa=[a^3 + (b+c)*a^2 - (b+c)^2*a - (b+c)*(b-c)^2; -4*b^2*c; -4*b*c^2];
    
    % Et pour le carré du rayon:
    
    Ra2=Factor(Distance2(Oa,Q,a,b,c)); % Donc:
    
    Ra2=4*b^2*c^2*(a+b-c)*(a-b+c)/((a+b+c)^3*(b-a+c));
    
    % Point d'intersection P des droites Dortho et (BC)
    
    P=Wedge(Dortho,BC); % P=[0; -b*(a+b-c); c*(a-b+c)]
    
    % Axe radical des cercles circonscrit et mixti-linéaire
    
    E1 = CercleCentreRayon2PQR(O,R2,a,b,c);
    E2 = CercleCentreRayon2PQR(Oa,Ra2,a,b,c);
    
    Axe=PgcdBary(FactorT(E1-E2)); % Axe=[4*b^2*c^2, c^2*(a-b+c)^2, b^2*(a+b-c)^2]
    
    % Point de contact des deux cercles
    
    syms v w real
    
    u=-(Axe(2)*v+Axe(3)*w)/Axe(1);
    Eq=numden(Factor(Distance2(O,[u; v; w],a,b,c)-R2));
    Eq=Factor(Eq/(4*b^2*c^2));
    
    % On trouve Eq=(w*b^3 - w*b^2*c + a*w*b^2 + v*b*c^2 - v*c^3 - a*v*c^2)^2
    % Donc -c^2*(a-b+c)*v + b^2*(a+b-c)*w = 0 et on peut prendre:
    
    v=2*b^2*(a+b-c); w=2*c^2*(a-b+c);
    u=Factor(-(Axe(2)*v+Axe(3)*w)/Axe(1));
    
    % Donc u=-a*(a+b-c)*(a-b+c)
    
    Astar=[-a*(a+b-c)*(a-b+c); 2*b^2*(a+b-c); 2*c^2*(a-b+c)];
    
    % Point d'intersection M de la droite (AA*) et du cercle mixti-linéaire
    
    AAstar=Wedge(A,Astar); % Droite (AA*): AAstar=[0, -c^2*(a-b+c), b^2*(a+b-c)]
    
    syms u w real
    
    v=-AAstar(3)*w/AAstar(2);
    Eq=numden(Factor(Distance2(Oa,[u; v; w],a,b,c)-Ra2));
    F=-b^2*c^2*(a-b+c)^2;
    Eq=Factor(Eq/F);
    
    % Donc:
    % 2*c^2*u + (a*b-a*c+a^2)*w = 0 et u=-a*(a+b-c)/(2*c^2) * w  C'est A*
    % ou:
    % -2*c^2*u + (a+2*b+2*c)*(a+b-c)*w = 0
    % et u = (a+2*b+2*c)*(a+b-c)/(2*c^2) * w  C'est M donc, on peut prendre:
    
    u=(a+2*b+2*c)*(a+b-c); w=2*c^2;
    v=Factor(-AAstar(3)*w/AAstar(2)); % v=2*b^2*(a+b-c)/(a-b+c) et finalement:
    
    M=[(a+2*b+2*c)*(a+b-c)*(a-b+c); 2*b^2*(a+b-c); 2*c^2*(a-b+c)];
    
    % Point d'intersection J des droites (PM) et (IA)
    
    J=Wedge(Wedge(P,M),IA);
    J=PgcdBary(J); % On trouve J=[a*(a+2*b+2*c), b*(b+c), c*(b+c)]
    
    % Rapport de distances
    
    JA2=Distance2(A,J,a,b,c);
    JI2=Distance2(I,J,a,b,c);
    
    K=Factor(JA2/JI2) % On trouve K=(b+c)^2/a^2 donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: Comment faire pour enlever ce jaune disgracieux de mon code et l'afficher correctement ?

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