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Partie étoilée

Modifié (23 Nov) dans Analyse
Bonjour
Je souhaite montrer que $U=\{ z \in \C \ | \ |z|=1 \}$ est connexe par arcs mais non étoilée. Mon raisonnement est-il correct ? Avez-vous d'autres exemples simples de partie connexe par arcs mais non étoilée ? 

Je sais que $U \subset \C^{*}$, donc $U$ est connexe par arcs.
Montrons que $U$ est non étoilé c'est-à-dire que $\forall z_1 \in U \exists z_2 \in U \ [z_1,z_2] \not\subset U$
Je prends $z_1=r e^{i \theta}$ avec $r >0$ et $\theta \in \R$. Soit $z_2=r e^{i \theta + \pi}$
Alors $\dfrac{z_1+z_2}{2}=0 \notin U$ ce qui conclut. 
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé. 
Étant donné $a \in A$, on dit que $A$ est étoilée par rapport à $a$ si $\forall x \in A, \ [a,x] \subset A$. 
On dit que $A$ est étoilée s'il existe $a \in A$ tel que $A$ soit étoilé par rapport à $a$.

Réponses

  • Modifié (23 Nov)
    "Je sais que $U \subset \C^{*}$, donc $U$ est connexe par ars."
    Dès la première ligne c'est complètement faux, comme dab.

    Et ça montre surtout que tu ne visualises absolument pas ce qu'est une partie connexe par arcs pour oser écrire une énormité pareille.
  • Je ne vois pas l'erreur. 
  • Dans ce cas, démontre nous que tout sous-ensemble de $\C^*$ est connexe par arcs.
  • C'est catastrophique !  Cela me fout les boules de voir que tu es enseignant.
  • @bd2017 modère tes propos, je te rappelle qu'OShine "maîtrise le niveau lycée"  :D
    Il paraîtrait même qu'il sait faire certaines questions de concours de spé.
  • Modifié (23 Nov)
    C étoile est connexe par arcs j'ai déjà posté la solution de cet exercice qui est dans le livre.
  • Modifié (23 Nov)
    Je n'ai jamais contesté que C étoile était connexe par arcs (même si tu ne saurais pas le démontrer sans recopier une correction).

    Try again (eh oui, c'est dur les maths qu'on en est encore à faire des erreurs de logique élémentaires).
    J'attends toujours que tu démontres que tout sous-ensemble de $\C^*$ est connexe par arcs.
  • S'il existe un chemin qui relie 2 éléments de C étoile alors sur un dessin ça marche aussi pour tout sous ensemble. 
  • Modifié (23 Nov)
    Ah ... On en est là ...
  • Modifié (23 Nov)
    Mais du coup, il existe un chemin qui relie n'importe quels deux éléments de C. Donc ça marche pour tout sous-ensemble. Donc tout sous-ensemble est connexe par arcs ? Donc il n'existe pas de partie de C non connexe par arcs ?

    C'est génial comme théorème, tu aurais dû commencer par là, l'argument est plus direct.
  • Bonjour,

    Donc, d'après OShine, Z* est une partie de C* donc est connexe par arcs.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (23 Nov)
    Je crois qu'@Os utilise  le théorème suivant "tout sous ensemble d'un ensemble connexe par arcs est connexe par arcs"
    Théorème bien connu sous le nom de théorème Oshinesque.
    P.S  Pas vu la remarque de Chalk
  • Modifié (23 Nov)
    Je sais bien qu'il utilise ce "théorème", d'où ma demande de le démontrer :-)
    Du coup ça confirme qu'il n'a aucune idée de ce qu'est un ensemble connexe par arcs.
  • Modifié (23 Nov)
    Rescassol merci pour le contre-exemple.
  • Modifié (23 Nov)
    Il n'y avait nullement besoin d'un contre-exemple.

    Tu annonces un fait (tout sous-ensemble d'un connexe par arcs est connexe par arcs), je te demande de le démontrer, et au lieu de cela tu dis "je ne vois pas d'erreur". Avec ce genre d'arguments j'espère au moins que tes classes ont 20/20 de moyenne en maths.
  • Modifié (23 Nov)

    Pour tout $z_1$ dans  $U$   il existe  $z_2$ dans $U$ tel que $[z_1,z_2]$ n'est pas inclus  dans $U$.

  • Pas compris bd2017... Par contre ce qui est bizarre c'est ton r, Oshine. r vaut une certaine valeur ici...
  • Modifié (23 Nov)
    C'est bien joli de donner un contre-exemple @Rescassol, mais OShine n'a absolument aucune idée de pourquoi la logique derrière son "théorème" est fausse, et à présent il ne cherchera plus puisqu'on n'a pas pu le forcer à écrire son raisonnement. Donc il continuera comme toujours avec des "je vois", "c'est clair", "je ne vois pas", "c'est pas clair", sans jamais écrire un raisonnement correct.

    Je ne suis même pas sûr qu'il sache pourquoi Z* n'est pas connexe par arcs du coup (sinon il n'aurait pas fait cette erreur de penser que tout sous-ensemble d'un connexe par arcs est connexe par arcs en disant qu'on peut toujours relier deux points).
  • Modifié (23 Nov)
    Bonjour
    Bon, plus simple, OShine:
    $\{1; 2\}$ est il connexe par arcs ? Si oui, démontre le. Si non, démontre le.
    Cordialement,
    Rescassol
  • Modifié (23 Nov)
    Noobey ici $r=1$.
    Montrons que $\Z^{*}$ n'est pas connexe par arcs.
    Soient $x,y \in \Z^{*}$ de sorte que $x \ne y$.
    Par l'absurde, si $\Z^{*}$ l'était, alors il existerait une application $p : [0,1] \longrightarrow \Z^{*}$ continue telle que $p(0)=x$ et $p(1)=y$
    Comme $p$ est continue sur $[0,1]$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $p$ prend toutes les valeurs entre $x$ et $y$.
    Ainsi, $p$ prend une valeur non entière entre $x$ et $y$ ce qui est absurde car $Im(p) \subset \Z^{*}$

    Montrons que $A=\{1,2\}$ n'est pas connexe par arcs.
    Soient $x,y \in A$ de sorte que $x \ne y$. Supposons par symétrie que $x=1$ et $y=2$.
    Par l'absurde, si $A$ l'était, alors il existerait une application $p : [0,1] \longrightarrow A$ continue telle que $p(0)=1$ et $p(1)=2$
    Comme $p$ est continue sur $[0,1]$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $p$ prend toutes les valeurs entre $1$ et $2$.
    Ainsi, $p$ prend une valeur non entière entre $1$ et $2$, par exemple $\dfrac{3}{2}$ ce qui est absurde car $Im(p) \subset A$
  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour
    OShine, comment démontrerais-tu que le cercle unité $\mathbf{U}$ est connexe par arcs maintenant que tu sais que $\C^\star$ contient des parties non connexes par arcs ?
  • Modifié (24 Nov)
    Skareriahm j'ai mis un peu de temps à trouver. 
    Soient $z_1,z_2 \in U$ distincts. Ainsi, $z_1= e^{i \theta_1}$ et $z_2= e^{i \theta_2}$ Supposons $\theta_1 < \theta_2$ modulo $2 \pi$
    L'application $\begin{array}[t]{cccl} \gamma :& [\theta_1,\theta_2] & \longrightarrow &U \\& \theta& \longmapsto &e^{i \theta }\end{array}$
    Le chemin continue $\gamma$ a pour image l'arc de cercle reliant $z_1$ à $z_2$. 
    On a $\gamma(\theta_1)=z_1$ et $\gamma(\theta_2)=z_2$, ce chemin relie bien $z_1$ à $z_2$.
  • Oshine ton application part de $[\theta_1,\theta_2]$ pas de $[0,1]$ comme dans la définition.
  • Ca ne change rien on peut prendre le paramétrage qu'on veut. 

    Dans le cours, ils ne donnent pas $[0,1]$ mais un segment $[a,b]$ quelconque mais on peut se ramener à $[0,1]$ quand ça nous arrange.
  • Supposons $\theta_1<\theta_2$modulo $2 \pi$

    Je suis le seul à ne pas comprendre cette notion ? 
  • Oui ça n'a aucun sens. J'ai écrit une bêtise. 
  • Modifié (25 Nov)
    OShine a dit :
    Noobey ici $r=1$.
    Montrons que $\Z^{*}$ n'est pas connexe par arcs.
    Sinon, tu saurais montrer que $\{i,3i+1\}$ n'est pas connexe par arcs ?
  • Modifié (25 Nov)
    T'es malin JLApin je ne peux plus utiliser le théorème des valeurs intermédiaires car on est dans $\C$  :'(
    Posons $A=\{i,3i+1 \}$
    On sait que $\arg(i)= \pi /2 [2 \pi]$ et $\arg(3i+1)= \pi /2 [2 \pi]$.
    Si $A$ était connexe par arcs, il existerait un chemin $p : [0,1] \rightarrow A$ continu tel que $p(0)=i$ et $p(1)=3i+1$
    Comme $i \ne 3i+1$, $p$ n'est pas une application constante. 
    Après je ne vois pas, mais sur un dessin, c'est évident, les 2 points sont distincts, donc aucun chemin continu ne peut les relier.
  • Modifié (25 Nov)
    C'est marrant parce qu'il y a deux jours c'était évident sur un dessin que tout sous-ensemble de $\C^*$ était connexe par arcs.
    Alors tes dessins ...
  • Comment Oshine fait-il pour déterminer un argument ? 
  • Modifié (25 Nov)
    Un argument de $i$ est $\pi /2$.
    On a $3i+1= r e^{i \theta}$ Et $r=\sqrt{10}$ 
    $\cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ et $\sin(\theta)=\dfrac{3}{ \sqrt{10}}$ donc $\tan(\theta)=3$
    Un argument de $3i+1$ est $\arctan(3)$.
  • Modifié (25 Nov)
    À quoi ça sert de calculer des arguments pour répondre à la question ? 
  • Modifié (25 Nov)
    Bonne question, mais c'est toi qui a commencé à le faire 5 messages plus tôt.
    Donc je te retourne la question, pourquoi as-tu calculé des arguments ? En quoi cela t'était utile pour répondre à la question ?
  • Modifié (25 Nov)
    Un dessin n'est pas une preuve mais on voit sur un dessin qu'on ne peut pas relier les points (0,1) et (1,3) par un chemin continu, il y a des trous.
    Zgrb c'était une idée de calculer des arguments au départ pour trouver un chemin, mais en fait je ne crois pas que ce soit utile.
    Je ne vois pas comment démontrer rigoureusement que l'ensemble n'est pas connexe par arcs.
  • @OShine tu as étudié la connexité avant de t'attaquer à la connexité par arc ?
  • Modifié (25 Nov)
    Non la connexité est hors programme des classes prépas. Hors Or, j'étudie un cours de MP. 
  • Modifié (25 Nov)
    raoul.S a dit :
    @OShine tu as étudié la connexité avant de t'attaquer à la connexité par arc ?

    Tu voulais vraiment qu'il explicite un fermé-ouvert non trivial de $\{i,3i+1\}$ ? :)
  • mouhahah 😅
  • JLapin pourrais-tu me donner une indication ? 
  • Si tu veux aller d'un point A à un point B et que les deux points sont séparés par une rivière, tu es obligé de te mouiller les pieds.
    A toi de trouver la rivière...
  • Modifié (25 Nov)
    J'ai une idée en repensant au cours de MPSI sur la continuité.
     Ici le chemin $p : [0,1] \longrightarrow \{ i,3i+1 \}$ tel que $p(0)=i$ et $p(1)=3i+1$ est une application continue d'une partie de $\R$ à valeurs dans $\C$.
    Elle est continue si et seulement si $Im(p)$ et $Re(p)$ sont continues. 
    Mais $Re(p)(0)=0$ et $Re(p)(1)=1$ 
    Mais $Re(p)$ est une fonction continue à valeurs réelles, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $Re(p)$ prend toutes les valeurs entre $0$ et $1$.
    Ainsi $Re(p)$ prend la valeur $1/2$ ce qui est contradictoire car aucun élément de $\{i,3i+1 \}$ a une partie réelle égale à $1/2$.
  • Modifié (25 Nov)
    Bonsoir,
    en fait, au départ, tu veux montrer que le cercle unité n'est pas étoilé??? J'ai un exemple simple d'ensemble connexe non étoilé l'ensemble de Mandelbrot ;)
  • Modifié (25 Nov)
    OShine, comme quoi des fois tu arrives à réfléchir tout seul (enfin j'espère que c'était tout seul...).
  • Je ne vois pas où j'aurais pu recopier la réponse d'un exercice inventé par JLapin. Mes collègues de maths du collège je ne crois pas qu'ils puissent m'aider  :|

    Mais j'ai mis plus d'une journée avant d'avoir une idée. 
  • Ce n'est pas grave, tu avais une deadline pour trouver la réponse ?
    Il faut que tu t'inspires de cette situation et que tu apprennes la patience en mathématiques.
    Mieux vaut résoudre un problème seul en 7 jours, que de demander la réponse au bout d'une heure. Ce sera bien plus bénéfique pour toi !
  • Modifié (26 Nov)
    Zgrb non je ne suis pas pressé. Après quand l'exercice est trop difficile j'abandonne logiquement.
    Mais ici la question était faisable. 
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Success message!