Préfaisceau quotient qui n'est pas un faisceau

Julia Paule

Bonjour

Dans ce document : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~merker/Enseignement/Geometrie-complexe/faisceaux.pdf, en observation 1.15, je ne comprends pas pourquoi l'application identiquement nulle $\in C_{S^1}(S^1) / L_{S^1}(S^1)$ ne pourrait pas se restreindre en $f^-$ et $f^+$ qui sont aussi identiquement nulles sur les restrictions $U^-$ et $U^+$ ?

En effet, $f^-$ est identiquement nulle, et $f^+$ prend la valeur $1$ sur la partie de $U^+ \cap U^-$ autour de $\dfrac{\pi}{2}$, et $0$ sur celle autour de $\dfrac{3 \pi}{2}$, mais par passage au quotient, elle devient aussi identiquement nulle  : $f^+ \in L_{S^1}(U^+ \cap U^-$)  ?

Merci d'avance.

S'il n'est pas au bon endroit, merci de déplacer ce message.

NoName

$f^+$ n'est pas identiquement nulle sur $U^+$. Elle ne peut pas l'être en fait.

Julia Paule

Ah mais oui, merci beaucoup NoName, $f^+$ n'est pas nulle sur $U^+$ et elle ne peut pas l'être. Comment n'y ai pas pensé ?

(j'ai rouvert un autre fil car l'autre a été malencontreusement fermé).

Julia Paule

Bonjour,

D'après le même document, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~merker/Enseignement/Geometrie-complexe/faisceaux.pdf, la théorie des faisceaux s'applique majoritairement à des espaces d'applications : pour $U$ouvert $\subset X$ espace topologique, et $\cal{F}$ un (pré)faisceau sur $X$, alors  $\cal{F}$$(U)$ est (le plus souvent) un ensemble d'applications (continues, de classe $\cal {C}^k$, ...), définies sur $U$ à valeurs dans un ensemble $E$ pouvant être $\mathbb {R}^n, \mathbb {C}^n$, ....

Toutefois cette théorie parait bien s'appliquer aux revêtements de la topologie algébrique, qui n'est jamais mentionnée dans le document.

Pouvez-vous me dire s'il s'agit d'un oubli (c'est tellement évident que ce n'est pas dit), ou bien si je fais erreur (il y a une différence fondamentale que je ne vois pas) ?

Par ailleurs, la théorie des faisceaux me semble indépendante de la théorie des catégories (elle existe sans), je ne comprends pas très bien pourquoi ce fil a été transféré dans cette catégorie (j'espère que vous vous y retrouverez).

Merci d'avance.

marco

Soit $E$ un espace topologique, soit $\mathcal{C}$ la catégorie des ouverts de $E$ avec une flèche de $U$ vers $V$ si $V$ est inclus dans $U$. Soit $\mathcal{D}$ une catégorie, alors un faisceau est un foncteur de la catégorie $\mathcal{C}$ dans la catégorie $\mathcal{D}$ (avec d'autres propriétés). $\mathcal{D}$ peut être la catégorie des anneaux, etc...

Julia Paule

Ok pour ça, sans autres hypothèses, cela décrit un préfaisceau. Si on y tient, mais on peut s'en passer.

NoName

Un revêtement c'est un faisceau localement constant. Enfin sur des espaces localement connexes au moins.

Julia Paule

Merci NoName, un revêtement est bien un faisceau. Par contre, je ne suis pas sûre de comprendre localement constant : ceci veut dire qu'une section du faisceau au-dessus de $U$ ouvert dans $X$ contenant un point $x$, est fixe dans un voisinage de $x$ ?

NoName

Le faisceau constant (de fibre $F$) c'est le faisceau associé au prefaisceau constant, qui est ce que tu imagines ($U\mapsto F$).
Un faisceau localement constant, $\mathcal{F}$, c'est un faisceau sur $X$ pour lequel il existe un recouverment ouvert $(U_i)_i$ de $X$ tel que $\mathcal{F}_{|U_i}$ est isomorphe à un faisceau constant (si $X$ est connexe, toutes les fibres sont isomorphes).

Les sections d'un revêtement sont un faisceau localement constant si $X$ est localement connexe (il suffit de prendre un recouvrement trivialisant). L'espace étalé d'un faisceau localement constant est un revêtement. 

Julia Paule

Merci NoName. J'ai l'impression que cela fait partie de la fin du document que je n'ai pas encore lue. Je reviendrai ensuite.

Julia Paule

Toujours dans le même document au paragraphe 5.6., il est dit que les sections du faisceau constant $\mathbb {C}_X= X \times \mathbb {C}$ (i.e. les applications continues $U \rightarrow \mathbb {C}_X $ telles que $\tau \circ \sigma = Id_U$, $\tau :  \mathbb {C}_X \rightarrow X$ étant la 1ère projection, $X$ espace topologique quelconque, $\mathbb {C}$ muni de la topologie discrète) sont les applications localement constantes $U \rightarrow \mathbb {C}$.

C'est ok si on considère que les fibres $(\mathbb {C}_X)_x = \{x\} \times \mathbb {C} $ peuvent être assimilées à $\mathbb {C}$ pour tout $x \in X$ (car $\forall x \in U,\ \sigma(x) \in \tau^{-1}(x)=(\mathbb {C}_X)_x \equiv \mathbb {C})$.

Ce n'est pas ok si on ne fait pas cet amalgame car alors aucune application $\sigma$ ne peut être constante sur un ouvert $U_1 \subset U$ contenant $x$ (vu que $\sigma(x)=(x,z_x)$, alors pour tout autre point $y \in U_1,\ \sigma(y)=(y,z_y)$ car $\tau \circ \sigma = Id_U$) ?

Bizarre. Qu'en dites-vous ?

NoName

Une section de $X\times E\to X$ s'identifie canoniquement à une flèche $X\to E$.  Donc non, ce n'est pas bizarre.

Julia Paule

D'accord, merci. On peut dire que dans le cas du produit cartésien, cela fait partie en quelque sorte de la définition d'une section (on ne répète pas la coordonnée de la pré-image).

Julia Paule

Encore une question. L'assertion 4.15 semble supposer qu'une application (continue) : $U \rightarrow E$ est localement constante ssi elle est constante sur les composantes connexes de $U$.

Wiki dit que seul le sens => est vrai : https://fr.wikipedia.org/wiki/Connexité_(mathématiques)

Ma question est : est-ce le contexte qui explique l'équivalence, ou bien est-ce une erreur ?

Merci d'avance.

NoName

C'est clairement pas équivalent. Il suffit d'examiner un espace totalement discontinu pour s'en convaincre. Mais en pratique sur des espace gentils (e.g localement connexe) ça coïncide.

Julia Paule

Ok merci. Par exemple c'est faux si on prend $X=\mathbb {Q}$ muni de la topologie induite de la topologie usuelle de $\mathbb {R}$.

Julia Paule

NoName a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2330001/#Comment_2330001

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Ok merci pour ça. Je comprends mieux en gros. Le faisceau constant de base $X$ et de fibre $F$, c'est le faisceau des applications localement constantes : $U \rightarrow F$.

Pour un faisceau localement constant, toutes les fibres sont isomorphes (dans les cas simples). C'est le cas d'un revêtement, qui devient alors un cas particulier de faisceau (la restriction à un feuillet (qui contient exactement un point de la fibre) de la projection de l'espace total sur un ouvert trivialisant est une bijection).

Merci beaucoup.