Convergence faible et injection compacte

Barjovrille

Bonjour j'ai une question.

Si on considère l'espace $H^{1}_{0}(\Omega)$ avec $\Omega$ un ouvert régulier borné de $\mathbb{R}^N$ et on considère $(u_n)$ une suite de $H^{1}_{0}(\Omega)$ qui converge faiblement vers une limite  $u$.

Alors la suite $(u_n)$ est bornée dans $H^{1}_{0}(\Omega)$, donc on peut appliquer le théorème de Rellich (injection compacte dans $L^2$), donc $(u_n)$ converge fortement dans $L^2$.

Mais est-ce que la limite forte est égale à $u$ (donc à la limite faible) ? Avez-vous des indications pour la preuve ?

Merci.

bd2017

Bonjour

Puisque $(u_n)$  converge faiblement vers $u$ dans $H_0^1$  elle converge aussi faiblement   vers $u$ dans $L^2.$   Mais la limite forte dans $L^2$ vers une fonction  implique la limite faible dans $L^2$ vers la même fonction. La limite forte et  la limite faible sont alors identiques. 

[En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. AD]

Barjovrille

Merci !