Somme de deux sinusoïdes de même fréquence
Bonjour
Étant donnés $a, a_1, a_2 \ge 0$, et $\phi_1, \phi_2\in \mathbb{R}$
Dans le cas d'une même amplitude, on voit sans peine que
$$(1)\quad a\cos(wt+\phi_1)+a\cos(wt+\phi_2) = 2a\cos(\frac{\phi_1 -\phi_2 }{2}) \cos (wt+\frac{\phi_1 +\phi_2 }{2} ).$$
Dans le cas d'amplitudes différentes, on voit aussi sans peine que
$$(2)\quad a_1\cos(wt+\phi_1)+a_2 \cos(wt+\phi_2)=\sqrt{a_1^2 +a_2^2+2a_1a_2\cos(\phi_1 -\phi_2)} \\ \cos\Big(wt+\arctan\big(\frac{a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2)}{a_1\cos(\phi_1)+a_2\cos(\phi_2)}\big)\Big)$$
Je voulais retrouver le (1) en remplaçant dans la (2) $a_1$ et $a_2$ par un $a$, je trouve
$$a\cos(wt+\phi_1)+a\cos(wt+\phi_2)=2a\vert \cos(\frac {\phi_1 -\phi_2 }2)\vert \cos(wt+\arctan (\tan (\frac {\phi_1 +\phi_2 }2 ) )).$$ Mais $\arctan (\tan x)=x-k\pi$ pour tout $x\in \,]\frac{-\pi}2+k\pi, \frac{\pi}2+k\pi[$.
Dans mon état actuel, je ne vois pas la suite.
Étant donnés $a, a_1, a_2 \ge 0$, et $\phi_1, \phi_2\in \mathbb{R}$
Dans le cas d'une même amplitude, on voit sans peine que
$$(1)\quad a\cos(wt+\phi_1)+a\cos(wt+\phi_2) = 2a\cos(\frac{\phi_1 -\phi_2 }{2}) \cos (wt+\frac{\phi_1 +\phi_2 }{2} ).$$
Dans le cas d'amplitudes différentes, on voit aussi sans peine que
$$(2)\quad a_1\cos(wt+\phi_1)+a_2 \cos(wt+\phi_2)=\sqrt{a_1^2 +a_2^2+2a_1a_2\cos(\phi_1 -\phi_2)} \\ \cos\Big(wt+\arctan\big(\frac{a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2)}{a_1\cos(\phi_1)+a_2\cos(\phi_2)}\big)\Big)$$
Je voulais retrouver le (1) en remplaçant dans la (2) $a_1$ et $a_2$ par un $a$, je trouve
$$a\cos(wt+\phi_1)+a\cos(wt+\phi_2)=2a\vert \cos(\frac {\phi_1 -\phi_2 }2)\vert \cos(wt+\arctan (\tan (\frac {\phi_1 +\phi_2 }2 ) )).$$ Mais $\arctan (\tan x)=x-k\pi$ pour tout $x\in \,]\frac{-\pi}2+k\pi, \frac{\pi}2+k\pi[$.
Dans mon état actuel, je ne vois pas la suite.
Le 😄 Farceur
Réponses
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Merci JLT pour la correction du Latex
Le 😄 Farceur -
Bonjour.
Quelle est donc la valeur de $ {\dfrac {\sin \left( \phi_1 \right) +\sin \left( \phi_2 \right) }{\cos \left( \phi_1 \right) +\cos \left( \phi_2 \right) }} $ ?
Cordialement, Pierre. -
Bonsoir pldx1, cela donne $\tan (\frac {\phi_1 +\phi_2 }2 ) $ avec les formules trigo sur la somme de deux sinus ou cosinusLe 😄 Farceur
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Bonjour" On voit aussi sans peine que" \[ \def\ptv{~;~} a_{0}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos(\phi_{1}-\phi_{2})}\ptv\phi_{0}=\arctan\left(\frac{a_{1}\sin\phi_{1}+a_{2}\sin\phi_{2}}{a_{1}\cos\phi_{1}+a_{2}\cos\phi_{2}}\right) \] Mais en prenant la peine de regarder, on voit que\[ a_{0}^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos(\phi_{1}-\phi_{2})\ptv\phi_{0}=2\arctan\left(\frac{a_{1}\sin\phi_{1}+a_{2}\sin\phi_{2}} {a_{0}+a_{1}\cos\phi_{1}+a_{2}\cos\phi_{2}}\right) \]Cordialement, Pierre.
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Bonjour,
@gebrane ; Tu fais une erreur dans la seconde relation. Il est juste d'écrire : $\displaystyle \tan \theta = {a_1 \sin \varphi_1 + a_2 \sin \varphi_2 \over a_1 \cos \varphi_1 +a_2 \cos \varphi_2}$ et l'argument du cosinus est $\omega t + \theta.$
Mais quand tu écris cet argument comme $\displaystyle \omega t + \arctan {a_1 \sin \varphi_1 + a_2 \sin \varphi_2 \over a_1 \cos \varphi_1 +a_2 \cos \varphi_2}$ tu fais l'hypothèse que $\displaystyle \arctan (\tan \theta) = \theta$ ce qui est faux dans le cas général (ce que tu sais).
Tu dois donc reprendre ta seconde relation et soit la changer soit ajouter une hypothèse.
Et le problème que tu rencontres disparaît. -
Pldx, bonjourmerci pour ta réponse que je ne vois pas.YvesM, bonjourJe donne les détails de mes calculs pour voir l'erreur que tu cites (je reprends difficilement mes activités).On a $a_1\cos(wt+\phi_1)+a_2 \cos(wt+\phi_2)=Re \big[a_1e^{i(wt+\phi_1)}+a_2 e^{i(wt+\phi_2)}\big]$=$Re \big[ e^{iwt}(a_1e^{i\phi_1}+a_2 e^{i\phi_2})\big]$.Le nombre complexe $Z=a_1e^{i\phi_1}+a_2 e^{i\phi_2}$ peut s'écrire sous sa forme trigo $Ae^{i\phi}$ avec $A=||Z||$ et $\phi=\arg(Z)\pmod{2\pi}$.On a $Z=a_1\cos(\phi_1) +a_2\cos(\phi_2) +i (a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2))$, d'où $A=\sqrt{ (a_1\cos(\phi_1) +a_2\cos(\phi_2))^2+(a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2))^2 }=\sqrt{a_1^2+a_2^2+2a_1a_2 \cos(\phi_1-\phi_2)}$ et $\phi=\arctan (\frac{a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2)}{a_1\cos(\phi_1) +a_2\cos(\phi_2)}$.Finalement$a_1\cos(wt+\phi_1)+a_2 \cos(wt+\phi_2)=Re(e^{iwt} Ae^{i\phi})=A\cos(wt+\phi)$ avec A et $\phi$ calculés ci-dessus.Maintenant si je prends $a_1=a_2=a$, on aura$A=\sqrt{2a^2+2a^2 \cos(\phi_1-\phi_2)}=\sqrt{2a^2(1+ \cos(\phi_1-\phi_2))}=2a|\cos(\frac{\phi_1-\phi_2}2|$ et $\phi=\arctan (\frac{\sin(\phi_1)+\sin(\phi_2)}{\cos(\phi_1) +\cos(\phi_2)})$=$\arctan \frac{ 2\sin(\frac{\phi_1+\phi_2}2)\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)}{2\cos(\frac{\phi_1+\phi_2}2)\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)}$=$\arctan (\tan (\frac{\phi_1+\phi_2}2))$.Mais directement on a $a\cos(wt+\phi_1)+a \cos(wt+\phi_2)=2a\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)\cos(wt+\frac{\phi_1+ \phi_2}2)$.Ma question était comment démontrer que $$2a\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)\cos(wt+\frac{\phi_1+ \phi_2}2)=2a|\cos(\frac{\phi_1-\phi_2}2)|\cos(wt+\arctan (\tan (\frac{\phi_1+\phi_2}2)).$$Le 😄 Farceur
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Bonjour.
Ta formule "on voit aussi sans peine que" est fausse. Si l'on disposait d'une preuve de cette formule, on pourrait s'en servir pour démontrer que les deux formules sont égales... et même pour démontrer n'importe quoi d'autre. Sauf que... la formule "on voit aussi sans peine que" est fausse. Et le fait que cette formule ne redonne pas l'autre dans le cas $a1=a2$ est précisément la preuve de la fausseté de cette formule.
Une phase est un angle de vecteurs, pas un angle de droites.
Cordialement, Pierre. -
Bonjour Pierre.
Dans mon dernier message, j'ai donné une preuve de la formule 2.
Dans mon état actuel, j'ai un terrible problème de concentration.Le 😄 Farceur -
Bonjour gebrane.
Comme la formule 2 est fausse, ce que tu as donné ne peut pas être une preuve.
Cordialement, Pierre. -
Merci Pldx, l'erreur précise était signalé par YvesM. (j'ai répété la même erreur dans mon deuxième message).
Le 😄 Farceur -
Bonjour,
Il reste à prouver que la formule proposée est correcte.
Cordialement, Pierre. -
Pldx1, j'avais dit merci pour ta réponse que je ne vois pas.Vraiment je ne vois pas pourquoi ta formule va nous donner la formule 1 . Ta formule est bien connue, mais je ne vois pas son utilité, ça complique les choses. Non? ).Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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