Montrer que l'intersection est continue

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Bonjour, soit $f:D^2\to D^2$ une application continue du disque fermé. Soit $g:\{p\in D^2\mid f(p)\neq p\}\to S^1,\: g(p)=q$ où $q$ est le point d'intersection entre $S^1$ et la demi-droite centrée en $f(p)$ passant par $p$. J'aimerais montrer que $g$ est continue.

Pour l'instant j'ai juste commencé à dire que pour $x,y\in \mathbb R^2$, le point de la droite $\overrightarrow{xy}$ qui intersecte $S^1$ doit satisfaire $\|\vec x + \lambda(\vec y-\vec x)\|=1$. Ça ne m'avance pas beaucoup, je dois pouvoir utiliser autre chose... Merci pour votre aide.

Chaurien

Peut-être travailler dans $\mathbb C$ ?

Chaurien

Dans $\mathbb C$, on a : $q=f(p)+\lambda (p-f(p))$, avec $\lambda \in \mathbb R_+^*$.

Alors : $1=\left\vert q\right\vert ^{2}=(f(p)+\lambda (p-f(p))(\overline{f(p)}+\lambda (\overline{p}-\overline{f(p)})$, soit :

$\lambda ^{2}\left\vert p-f(p)\right\vert ^{2}+\lambda g(p)+\left\vert f(p)\right\vert ^{2}-1=0$, avec $g(p)=(p-f(p))\overline{f(p)}+(\overline{p}-\overline{f(p)})f(p)$, qui est réel.

Comme $\left\vert p-f(p)\right\vert ^2>0$ et que $\left\vert f(p)\right\vert ^{2}-1 <0$, c'est une équation du second degré dans $\mathbb R$, à l'inconnue $\lambda$, et cette équation a une seule solution positive, donnée par la formule bien connue. Cette formule donne une fonction  $p \mapsto \lambda$  continue.

Il reste à terminer.

Bonne journée.

Fr. Ch.

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Merci beaucoup 

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Je crois qu'en fait de manière générale, toute intersection d'une demi-droite avec une courbe dans le plan définit une fonction continue. À quoi ressemblerait l'argument général dans ce cas?

Poirot

Ton énoncé est imprécis et n'a aucune chance d'être vrai. En général une demi-droite peut couper une courbe en un nombre arbitraire (voire infini) de points.

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Par exemple dans la photo, la fonction $f$ qui associe à $p$ (dans la partie hachurée verte) l'intersection entre la demi-droite partant de $q$ passant par $p$ et le bord en bleu de la partie hachurée définit une fonction continue non? Quel est l'argument sous-jacent?

Chalk

$f$ se calcule explicitement dans ce cas, et la continuité en découle.

Chalk

Un énoncé qui a des chances d'être vrai :
Soit $U$ un ouvert du plan, et $p$ un point n'appartenant pas à $U$.
Soit une courbe $\gamma$ dans le plan et continue.
Supposons que pour tout $q\in U$, il existe un unique point d'intersection entre $\gamma$ et la demi-droite $[p,q)$, et notons $f(q)$ ce point d'intersection.
L'application $f$ est alors continue de $U$ dans $\R^2$.

Et je pense que c'est probablement faux si on remplace droite par demi-droite.

Mais je ne t'avance pas beaucoup ...

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Merci pour ta réponse. J'aimerais réussir à calculer $f$ explicitement dans un cas assez simple pour voir comment faire. Si je prends le carré $[-1,1]\times [-1,1]$ et $q=(-2,0)$, comment se calcule $f$?

gerard0

Bonsoir.

Soit m un point du contour bleu. Ta fonction f est constante sur qm (la partie dans le carré). Il suffit donc de la tester dans une autre direction, par exemple quand p varie sur le côté du carré le plus proche de q.

Cordialement.

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Bonsoir, j'ai essayé un argument qui m'a l'air un peu foireux... C'est sûrement faux