Nombre premier et Infini
dans Arithmétique
Bonjour !
On me donne un polynôme F à indéterminée X (non constant) et à coefficient dans l'ensemble des entiers relatifs.
J'aimerais démontrer que la famille A suivante est infinie.
A={ p premier tel que : il existe un entier n tel que p divise F(n)}.
Merci pour vos éventuelles réactions !
On me donne un polynôme F à indéterminée X (non constant) et à coefficient dans l'ensemble des entiers relatifs.
J'aimerais démontrer que la famille A suivante est infinie.
A={ p premier tel que : il existe un entier n tel que p divise F(n)}.
Merci pour vos éventuelles réactions !
Réponses
-
Ça équivaut à montrer que, si $F$ est non constant, l'ensemble des nombres premiers $p$ pour lesquels $F$ a une racine dans $\mathbb{F}_p$ est infini.
On peut d'abord supposer que $F$ n'a aucune racine dans $\mathbb{Z}$, sinon il est clair qu'il a une racine dans chaque $\mathbb{F}_p$. On pose alors
$$P(x) := \frac{F \left( x F(0) \right)}{F(0)}$$
qui est bien un polynôme non constant à coefficients entiers et pour lequel $P(0)=1$.
Supposons que les seuls nombres premiers divisant $P(n)$ pour tout entier $n$ soient $p_1, \dotsc,p_r$ et soit $m:= p_1 \dotsb p_r$. Pour tout entier $\ell \neq 0$, $P(\ell m) \equiv P(0) \equiv 1 \pmod m$, donc aucun des nombres premiers $p_1, \dotsc,p_r$ ne divise $P(\ell m)$, ce qui implique que, pour tout $\ell \neq 0$, $P(\ell m) = \pm 1$, et donc $P$ est constant. D'où une contradiction avec l'hypothèse que $P$ est non constant. -
Merci.
Pouvez vous me donner une définition de l'ensemble $\mathbb{F}_{p}$? -
J'aurai peut-être dû d'écrire $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$, l'ensemble des classes d'équivalence modulo $p$.
-
Ces classes je les connais très bien . Mais je n'ai pas encore recontré $\mathbb{F}_{p}$
-
...je les connais...Exemple de faute monstrueuse, qui dénote une totale incompréhension de ce qu'on écrit.Tout autre chose qu'une banale faute d'orthographe d'usage, pas grave, comme de mal écrire ornithorynque.
-
Merci Chaurien
-
noix de totos a dit :J'aurai peut-être dû d'écrire $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$, l'ensemble des classes d'équivalence modulo $p$.
-
Ma question est résolue ! Cette proposition voudrait donc dire que le plus grand nombre premier qui divise F(n) lorsque n tend vers l'infini vaut l'infini !? Est-il possible de le prouver ?
Comme essai de preuve. Si je suppose que ce nombre est fini alors cela contredit le fait qu'il existe une infinité de nombres p divisant F(n) pour un certain n.
Est-elle suffisante comme preuve ? -
Bonjour.Il n'y a pas ici de preuve, la phrase "le plus grand nombre premier qui divise F(n) lorsque n tend vers l'infini vaut l'infini !?" n'a pas de sens, un nombre premier étant par nature fini et "l'infini" n'étant pas un nombre entier.En maths, ne jamais jouer sur les mots en parlant d'infini, c'est toujours désastreux.Cordialement.
-
Merci ce que je veux dire est que :
si j'appelle P(m) le plus grand nombre premier qui divise m. Alors est-ce que je peux dire d'après ce qui précède que $\lim P(F(n))=\infty$ ? -
Non, si $F(X)=X$, alors $P(F(2^k))=2$ si $k>0$, or $2^k$ tend vers l'infini quand $k$ tend vers l'infini. De même, $P(F(3^k))=3$ si $k>0$. Donc $P(F(n))$ n'a pas de limite quand $n$ tend vers l'infini.
-
Cette question a toutefois connu de grands succès en théorie des nombres, mais il faut être précis.
En 1952, Erdös montre qu'il existe $c > 0$ telle que, pour tout polynôme irréductible $F$, il existe un réel $x_0(F)$ tel que, pour tout $x \geqslant x_0(F)$, on ait la minoration
$$P \left( \prod_{n \leqslant x} F(n) \right) > x (\log \log x)^{c \log \log x}.$$
Diverses amélioration ont eu lieu par la suite. Par exemple, en 1990, Tenenbaum montre que, pour tout polynôme $F$ irréductible sur $\mathbb{Z}$, on a
$$P \left( \prod_{n \leqslant x} F(n) \right) > x \exp \left\lbrace (\log x)^{\alpha} \right\rbrace$$
avec $0 < \alpha < 2 - \log 4 \approx 0,6137$.
-
marco a dit :Non, si $F(X)=X$, alors $P(F(2^k))=2$ si $k>0$, or $2^k$ tend vers l'infini quand $k$ tend vers l'infini. De même, $P(F(3^k))=3$ si $k>0$. Donc $P(F(n))$ n'a pas de limite quand $n$ tend vers l'infini.
-
noix de totos. Merci.[Inutile de recopier l'avant-dernier message. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres