Une hyperbole circonscrite classique

jelobreuil

Bonsoir à tous,

Je suppose que la figure ci-dessous est un classique : il s'agit, dans un triangle $ABC$, du lieu des points $P$ tels que les angles $(BC, BP)$ et $(AP, AC)$ soient égaux : c'est une hyperbole équilatère circonscrite à $ABC$. Et la direction de l'une des asymptotes est donnée par la direction constante des droites joignant les points d'intersection des demi-droites $AP$ et $BP$ avec les côtés $BC$ et $AC$, respectivement.

Cela faisait sans doute partie du cours sur les coniques ?

Bien cordialement JLB

Rescassol

Bonjour,
Morley circonscrit trouve  $z^2 - s_3c\overline{z}^2 - (a+b)z + (a+b)c^2\overline{z} + (ab-c^2)=0$ qui es t bien l'équation d'une hyperbole équilatère circonscrite. Son centre est le milieu de [AB] et elle recoupe le cercle circonscrit à l'antipode de $C$.
Cordialement,
Rescassol

Edit: Les asymptotes ont pour équation: $4abz^2 - 4s_3^2\overline{z}^2 - 4ab(a+b)z + 4s_3c(a+b)\overline{z} + (a+b)^2(ab-c^2)=0$.

jelobreuil

Bonsoir,

Je joins de nouveau la figure qui a disparu de mon premier message,  et j'en profite pour signaler que le LaTeX, correct hier, est redevenu "brut de frappe" tant dans mon message que dans celui de Rescassol ...

Merci AD de supprimer ce message, double emploi avec le précédent qui a été déplacé !

jelobreuil

Merci, Rescassol, de cette confirmation !

Merci aussi de ton indication avec le cercle rose !

Je suppose que par permutation circulaire, on obtient trois hyperboles circonscrites, n'est-ce pas ?

Bonne nuit, bien cordialement JLB

jelobreuil

Merci à celui qui a rétabli le LaTeX !

JLB

Rescassol

Bonsoir
Oui, on a trois hyperboles équilatères circonscrites.
On peut aussi les obtenir avec, soit les antipodaux de $A,B,C$, soit les points $A',B',C'$ tels que $ACBC', BACA', CBAB'$ soient des parallélogrammes, ce qui fournt, avec $A,B,C,H$ assez de points pour la commande "conique 5 points" de Géogébra par exemple
Cordialement,
Rescassol

pappus

Bonjour à tous
En effet c'était autrefois une simple question de cours figurant dans le Lebossé-Hémery.
RIP
Amicalement
pappus
pappus

jelobreuil

Merci beaucoup, Pappus, de cette référence : je n'ai pas mon Lebossé-Hémery sous la main, et de toute façon, je ne sais pas si j'aurais pu la retrouver !

Bien amicalement JLB