Problème convexe, unicité
Bonjour
J'essaye de résoudre le problème suivant sans succès.
Show that if $\hat{\theta}$ and $\hat{\theta^{'}}$ are two solutions of the minimization problem: $\underset{\theta\in\mathbb{R}^p}{\min}\left(||y-X\theta||^2 +h(\theta)\right)$
J'essaye de résoudre le problème suivant sans succès.
Show that if $\hat{\theta}$ and $\hat{\theta^{'}}$ are two solutions of the minimization problem: $\underset{\theta\in\mathbb{R}^p}{\min}\left(||y-X\theta||^2 +h(\theta)\right)$
where $h:\mathbb{R}^p\mapsto\mathbb{R}$ is a convex function, then $X\hat{\theta}=X\hat{\theta^{'}}$ and $h(\hat{\theta})=h(\hat{\theta^{'}})$.
En français cela donne
Montrer que si $\hat{\theta}$ et $\hat{\theta^{'}}$ sont deux solutions du problème de minimisation :
$\underset{\theta\in\mathbb{R}^p}{\min}\left(||y-X\theta||^2
+h(\theta)\right)$, où $h:\mathbb{R}^p\mapsto\mathbb{R}$ est une fonction convexe, alors $X\hat{\theta}=X\hat{\theta^{'}}$ et
$h(\hat{\theta})=h(\hat{\theta^{'}})$.
J'ai tenté d'écrire un système d'équations que vérifient $\hat{\theta}$ et $\hat{\theta^{'}}$ mais cela n'aboutit à rien...
Auriez-vous une idée de comment résoudre ce problème ?
D'avance merci !
Auriez-vous une idée de comment résoudre ce problème ?
D'avance merci !
[Essayer de poser les questions en français. Merci. AD]
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Réponses
trivialement on a $X\hat{\theta}=X\hat{\theta^{'}}=0$ et le problème revient à minimiser h.
On a donc aussi trivialement si $\hat{\theta}$ et $\hat{\theta^{'}}$ sont deux solutions de:
Je ne vois pas de problème ici...
(attention, on n'essaye pas de montrer ici que $\hat{\theta}=\hat{\theta^{'}}$)