L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Condition pour que deux racines d'un polynôme soient inverses
dans Algèbre
Bonjour,
Résoudre l'exercice suivant par (au moins) trois méthodes différentes :
Résoudre l'exercice suivant par (au moins) trois méthodes différentes :
condition à établir entre $a$ et $b$ pour que deux racines de l'équation $x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx - 1 = 0$ soient réciproques
A+
A+
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Réponses
Personnellement, je trouve que la condition est $b^2 + 4a - 4 = 0$, et ce par deux méthodes.
A+
La condition $a+b-2=0$ traduit que $1$ est racine, la condition $a-b+2=0$ traduit que $-1$ est racine.
Oui, $1$ et $-1$ sont leurs propres inverses.
Avec un peu de mauvaise foi, je dirai que l'énoncé original ne précise pas que les deux racines doivent être distinctes.
Cordialement,
Rescassol
J'avais demandé trois méthodes au moins, hors logiciels de calcul.
A+
D'une part, tu n'avais pas dit "hors logiciels de calcul", d'autre part, un résultant se calcule aussi à la main, donc c'est une méthode.
Cordialement,
Rescassol
Les trois méthodes auxquelles j'ai pensé sont
- écrire que $P(x) = (x^2 - sx + 1)(x^2 - s'x - 1)$, puis procéder par identification (deux des relations donnent $s, s'$ et la troisième fournit la relation de compatibilité) ;
- employer les relations de Viète ;
- calculer à la main le résultant.
La première méthode me semble la plus simple.Notons que, si $b = 2$, on a $P(x) = (x+1)(x - 1)^3$.
Réflexion faite, il existe une autre méthode :
- déterminer l'équation aux produits des racines prises deux à deux ;
- écrire que l'équation aux produits admet $1$ pour racine.
A+