L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Interprétation d'un énoncé
Bonjour
Que signifie l'énoncé suivant ?
Que signifie l'énoncé suivant ?
On donne une tangente à une parabole, le point de contact et le lieu du pied de la directrice sur l'axe, lequel lieu est un cercle ayant le point de contact pour centre ; équation de la courbe.
A+
A+
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Réponses
En clair :
on demande l'équation d'une parabole, connaissant un point $P$ d'icelle et la tangente en ce point, et sachant que l'intersection de la directrice et de l'axe appartient à un cercle de centre $P$.
Est-ce bien cela ?
A+
Pour demander l'équation d'une courbe, encore faudrait-il que l'énoncé fixe un repère quel qu'il soit!
Le cercle final me semble superflu dans un premier temps
Je demanderais plutôt:
Construire une parabole connaissant l'intersection $H$ de son axe avec sa directrice ainsi qu'une de ses tangentes $T$ avec son point de contact $M$!
Amicalement
pappus
Et voici la figure que j'ai obtenue!
Il existe une hypocycloïde à trois rebroussements à déterminer, telle que les axes des paraboles cherchées lui soient tangentes.
Autant dire que les sectateurs de la règle ébréchée et du compas rouillé peuvent aller se rhabiller puisque l'hypocycloïde à trois rebroussements est une courbe de la troisième classe!
Amicalement
pappus
Il est clair qu'on est parti sur un très très bon pied comme d'habitude!
Pour arriver à débusquer cette hypocycloïde à trois rebroussements, j'ai relaxé un peu la condition de Piteux_gore et j'ai étudié la famille des paraboles tangentes en $M$ à la droite $T$ dont la directrice passe par le point $H$.
Il se trouve que cette famille est très bien décrite dans les schémas traditionnels du cours sur les défuntes coniques!
Amicalement
pappus
Personne, pas même son auteur, n'a l'air de s'intéresser vraiment à cet énoncé!
Peut-être l'ai-je mal interprété?
Bof!
Amicalement
pappus
J'aimerais être certain de ce que l'énoncé demande...
A+
Tu aurais pu à tout le moins dire ce que tu pensais de mon interprétation, étant le seul à t'avoir répondu. Tu nous parles d'une parabole dont on connait un point $M$ et sa tangente $T$ ainsi que le pied $H$ de la directrice sur l'axe c'est à dire l'intersection $H$ de la directrice avec l'axe. J'ai choisi cette interprétation mais si tu en as une autre, fais nous en part! Il y a en effet bien des façons de prendre son pied en géométrie. On est donc ramené à construire la parabole connaissant le point $H$ et la droite $T$ pointée par le point $M$. Eventuellement on peut regarder ce que font les paraboles solutions quand le point $H$ décrit une courbe donnée comme un cercle par exemple!
Amicalement
pappus
Sur ma figure, j'ai tracé une droite quelconque passant par $H$ qui va jouer le rôle de directrice.
Je projette orthogonalement le point $M$ en $P$ sur la directrice.
Le symétrique $F$ de $P$ par rapport à la tangente $T$ n'est autre que le foyer $F$.
La perpendiculaire à la directrice passant par le foyer $F$ n'est autre que l'axe.
So far so good.
Ensuite je demande au logiciel de tracer en rouge l'enveloppe de l'axe quand la directrice pivote autour de $H$
On obtient ce beau deltoïde.
Et pour répondre à la question initiale de Piteux_gore, il suffit de mener les tangentes issues de $H$ à ce deltoïde.
Quant à une solution quelle qu'elle soit, on peut effectivement attendre la saint glinglin quand on est muni seulement des axiomes de Thalès et de Pythagore!
Amicalement
pappus
Il est clair que je vais devoir me coltiner tout ce fourbi comme d'habitude.
Je choisis un repère orthonormé $\{M,(i,j)\}$ dans lequel la tangente $T$ a pour équation: $y=0$ et le point $H$ pour coordonnées $(a,b)$.
Le point $M$ étant l'origine du repère utilisé, ses coordonnées ne sont pas trop difficiles à évaluer!
Et roule ma poule!
Si quelqu'un a une meilleure idée, qu'il le dise!
Amicalement
pappus
Là aussi quand je constate le peu de réactions pour ne pas dire aucune devant ce joli exercice déniché par Piteux_gore , j'en viens à me demander si je suis vraiment dans un forum de géométrie!
Dans le repère que j'ai envisagé, la directrice passant par $H(a,b)$ a une équation de la forme:
$$(x-a)\cos(\theta)+(y-b)\sin(\theta)=0$$
La projection $P$ du point $M$ sur cette directrice a pour coordonnées $(\lambda\cos(\theta),\lambda\sin(\theta)$ où il faut ajuster $\lambda$ pour qu'il soit sur la directrice.
On trouve immédiatement:
$$\lambda=a\cos(\theta)+b\sin(\theta)$$
Le point $F$ symétrique de $M$ par rapport à $T$ a donc pour coordonnées:
$$(\lambda\cos(\theta),-\lambda\sin(\theta))$$
L'axe est la droite passant par le foyer $F$ orthogonal à la directrice d'équation:
$$\dfrac{x-\lambda\cos(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{y+\lambda\sin(\theta)}{\sin(\theta)}$$
ou encore:
$$\dfrac x{\cos(\theta)}-\dfrac y{\sin(\theta)}-2\lambda=0$$
On écrit que l'axe passe par $H(a,b)$ pour obtenir:
$$\dfrac a{\cos(\theta)}-\dfrac b{\sin(\theta)}-2\lambda=0$$
Et c'est là que tout commence mais est-ce vraiment à moi de continuer?
Amicalement
pappus
Exercice posé à l'oral de l'X en 1881 et déniché dans le numéro de décembre 1881 de l'éphémère Journal de mathématiques élémentaires et spéciales (1880-1881).
A+
Ce lieu du point H importe peu dans un premier temps.
Il faut déjà regarder ce qui ce passe quand le point H est fixe, autrement dit quand ce lieu est réduit à un point!
C'est ce que j'ai fait et il y a déjà beaucoup de choses à dire dans ce cas!
Quand le point H décrit une courbe (même réduite à un point) , on peut effectivement se poser beaucoup de questions, lieu des foyers, lieu des sommets, enveloppe des directrices, enveloppe des paraboles, etc, etc...
Amicalement
pappus
PS
N'ayant déjà eu aucune réponse au sujet de ma propre interprétation qui je pense, est la plus simple possible, je me doute que le cadre général ne va pas soulever beaucoup plus d'enthousiasme!
Exact!
Il fallait déjà voir ce qui se passait dans ce cas particulier très simple!
Tu remarqueras aussi que j’ai relaxé cette condition forte en étudiant la famille des paraboles tangentes en M à la droite T et dont la directrice passe par H.
Bref devant un énoncé initial qui n’avait aucun sens, j’ai fait des propositions qui auraient pu à tout le moins être discutées!
Amicalement
pappus
Une paramétrisation de la courbe obtenue en posant $y = x \operatorname{tan} \left( \theta \right)$ :
$x = \frac{\sqrt{2} \operatorname{cos} \left( \theta \right)}{\sqrt{3-\operatorname{cos} \left( 4 \theta \right)}}$ et $y = \frac{\sqrt{2} \operatorname{sin} \left( \theta \right)}{\sqrt{3-\operatorname{cos} \left( 4 \theta \right) }}.$ avec $0\leq \theta\leq 2\pi$.
Cordialement,
ludwig
Seul GaBuZoMeu a un peu répondu à mes états d'âme en remarquant qu'il y avait de une à trois paraboles répondant à mes spécifications.
Ce qui prouve qu'il a fait les calculs!
Ce n'est pas très difficile de résoudre l'équation que j'avais écrite:
$$\dfrac a{\cos(\theta)}-\dfrac b{\sin(\theta)}=2(a\cos(\theta)+b\sin(\theta))$$
Personne pour ce faire, pas même l'initiateur de cette discussion, à se demander ce qui l'intéresse et c'est moi comme d'habitude qui doit s'acquitter de cette corvée!
$$a\big(\dfrac 1{\cos(\theta)}-2\cos(\theta)\big)=b\big(\dfrac 1{\sin(\theta)}+2\sin(\theta)\big)$$
ou encore:
$$a\sin(\theta)(1-2\cos^2(\theta))=b\cos(\theta)(1+2\sin^2(\theta))$$
En posant $t=\tan(\theta)$, on trouve:
$$\dfrac ba=t\dfrac{1-\frac 2{1+t^2}}{1+\frac{2t^2}{1+t^2}}=\dfrac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$$
On se doute bien qu'il n'y aura pas beaucoup de monde pour discuter du nombre de racines de cette équation du troisième degré.
Courage, fuyons!
Oui bien sûr mais vers où?
Amicalement
pappus
Je relève ton défi ! Et je ne veux pas te laisser monologuer dans un désert numérique, alors que je puis essayer de rameuter de vieux réflexes d'il y a plus de 50 ans ...
Ensuite, pour savoir si les valeurs prises par f(t) en ces deux extremums sont de même signe ou de signes contraires, peut-on faire l'approximation consistant à négliger k ? Si oui, on a f(0) = -p et f(2p) = -p(4p^2 + 3), qui sont de même signe : f(t) n'aurait donc ainsi qu'une seule racine, sous réserve de la validité de cette approximation et de la justesse de mes calculs ...
Je te remercie d'avoir mis les mains dans le cambouis!
C'est si rare sur ce forum que cela doit être signalé!
Mais tes calculs doivent se traduire géométriquement in fine sur l'écran de ton ordinateur!
Devant cette équation du troisième degré, on sait dès le départ que les ardeurs de ceux qui ne veulent faire de la géométrie que s'ils peuvent utiliser leur règle ébréchée et leur compas rouillé, sont éteintes!
Mais il existe peut-être des valeurs de $p$ pour lesquelles cela est possible?
Les déceler si possible!
Ensuite je sais que cette construction peut être menée à bien par des méthodes utilisant des intersections de coniques, exposées depuis longtemps par Poulbot sur notre forum et je voudrais bien arriver jusque là si j'en ai encore la force!
Amicalement
pappus
PS
C'est toi qui m'as signalé que le $\LaTeX$ fonctionnait à nouveau sur notre forum!
Pourquoi ne l'utilises pas tu toi même?
Ce n'est vraiment pas très difficile!
Excuse moi mais je ne comprends pas bien ce que tu as fait.
Les données sont le point $M$ et sa tangente $T$.
Le point $H$ intersection de l'axe et de la directrice sert de paramètre.
La discussion se fait autour de la position de ce point.
On doit obtenir un régionnement du plan et dire si le point $H$ est dans telle ou telle région, alors on a une, deux ou trois paraboles solutions.
Et j'affirme déjà que la construction de ces solutions se fera par intersections de coniques à défaut de l'être par la règle et le compas.
@ Jelobreuil
Je vois que tu n'as pas très bien compris ce qui se passe:
Tu as une équation du troisième degré dépendant du paramètre $p=\dfrac ba$.
Tu dois trouver une partition de la droite réelle en intervalles disjoints et nous dire si $p$ se trouve dans tel ou tel intervalle, alors il y a une, deux ou trois solutions!
Amicalement
pappus
Finalement tu as adopté le point de départ que j'avais trouvé si artificiel.
Avoue que mon point de vue est plus naturel où on discute suivant la position du point $H$ dans le plan tout entier et non sur telle ou telle courbe.
Une fois connue la solution du problème pour le point $H$ quelconque, il est très facile d'avoir par intersection la solution pour un point $H$ situé sur telle ou telle courbe!
Amicalement
pappus
Cordialement, Pierre.
Tout d'abord Merci!
On ne va pas se fâcher pour si peu!
Le cercle de départ me paraissant apparaître comme des cheveux sur la soupe, j'ai préféré m'en débarrasser!
Cela me semblait plus naturel!
Le fait que mon problème soit invariant par homothétie est évident sur l'équation que j'ai obtenue :$$\dfrac ba=\dfrac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$$Et il est étonnant que Jelobreuil n'ait pas trouvé les pentes que tu as écrites, à savoir :$$\pm\dfrac{\sqrt{2\sqrt 3-3}}3$$sur cette équation du troisième degré.
Etait-il si difficile de tracer le graphe de la fonction $t\mapsto \dfrac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$
et de faire la figure ci-dessous.
Amicalement
pappus