Probabilités sur un espace dénombrable : une devinette — Les-maths.net The most powerful custom community solution in the world

Probabilités sur un espace dénombrable : une devinette

Je vous soumets une petite devinette qui s'est présentée à moi récemment. Soit $(\Omega, \mathcal P(\Omega), P)$ un espace probabilisé dénombrable, existe-t-il une suite $(X_n)_n$ de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées qui ne soient pas presque sûrement constantes ? Et si l'on enlève l'hypothèse "identiquement distribuées" ?
Un peu de contexte : j'ai essayé de bricoler un cours de probabilités discrètes qui devait tenir dans un nombre limité d'heures. Je ne voulais ni sacrifier la rigueur ni passer trop de temps sur la notion de tribu, j'ai donc décidé de me limiter aux espaces probabilisés dénombrables ce qui simplifiait pas mal les choses. Mais quand est venu le moment de parler de la loi faible des grands nombres j'ai subitement été pris de doutes... Allais-je démontrer des choses sur les éléments de l'ensemble vide comme dans toutes ces histoires apocryphes ?
J'imagine que l'exercice est déjà connu, mais c'était la première fois que je tombais dessus.

Réponses

  • Etant donné un espace probabilisé dénombrable $(\Omega,\mathcal A,P)$, Il n'existe aucune suite $(X_n)_{n \in \N} \in \{0,1\}^{\N}$ de variables indépendantes identiquement distribuées avec $P(X_1=1)=\frac 1 2$. En effet le cas échéant posons $Y := \sum_{k=0}^{+\infty } 2^{-(k+1)}X_k$. Alors $Y$ est une variable aléatoire uniforme sur $[0,1]$ et $\{Y(\omega) \mid \omega \in \Omega\}$ est dénombrable et de probabilité $1$ ce qui est absurde.
  • Pour le cas général si on suppose seulement que les $X_n$ sont indépendantes et à valeurs dans un espace $E$, alors (quitte à toutes les supposer non constantes p.s.) pour tout $n$, il existe une partie mesurable $A_n$  de $E$ telle que $P(X_n\in A_n)>0$ et $P(X_n\notin A_n)>0$. A nouveau on a une variable aléatoire réelle $Y:= \sum_{k=0}^{+\infty} 2^{-(k+1)} X'_k$ où $X'_k = \mathbf 1_{X_k \in A_k}$. Soit $f: \alpha \in [0,1] \mapsto P(Y\leq \alpha)\in [0,1]$ sa fonction caractéristique. Si $f$ est surjective on aura à nouveau $f(Y)$ uniforme.
  • Modifié (27 Nov)
    Il y a un exemple où ce n'est pas le cas (et donc il y a une suite iid de variables indépendantes (édité) sur un ensemble dénombrable mais elle est plutôt "pathologique"):
    Soit $\Omega$ l'ensemble (dénombrable) de toutes les suites de $\{0,1\}$ nulles à partir d'un certain rang. On définit une mesure de probabilité sur $\Omega$ en posant pour tout $x\in \Omega$, $p(x):= \prod_{n=0}^{+\infty} \varphi_k(x)$ où $\varphi_k(x)=2^{-(k+1)}$ si $x_k=0$ et $\varphi_k(x)=1-2^{-(k+1)}$ sinon. Alors les projections $X_k: t \mapsto t_k$ forment une suite iid sur $\Omega$ (l'idée est que lorsqu'on munit $\{0,1\}^{\N}$ de la mesure produit des mesures de Bernoulli $n\mapsto 2^{-(n+1)}\delta_0 + \left (1-2^{-(n+1)} \right) \delta_1$, le lemme de Borel-Cantelli entraîne que $\Omega$ est de mesure $1$ dans $\{0,1\}^{\N}$).
  • Bien joué Foys !

    J'étais arrivé aux mêmes conclusions d'une façon un peu différente pour la première question. Supposons qu'une telle suite $(X_n)_n$ existe, on a alors un ensemble $A$ tel que $P(X_n\in A) = \alpha \in ]0;1/2]$. Soit $\omega \in \Omega$ une issue, pour chaque entier $k$ on a $\omega \in X_k^{-1}(A)$ ou $\omega \in X_k^{-1}(A^C)$, elle est donc dans une intersection infinie de ces sous-ensembles. Tous ces sous-ensembles sont de mesure au plus $1-\alpha$ et par indépendance on trouve donc $P(\omega) \leq  (1-\alpha)^n$ quel que soit l'entier $n$, ce qui entraine $P(\omega)=0$. Par additivité dénombrable on retrouve $P(\Omega)=0$, ce qui est absurde.

    Ceci montre d'ailleurs que pour obtenir une suite $(X_n)_n$ de variables aléatoires indépendantes sur un espace dénombrable il faut forcément qu'elles se rapprochent en probabilités de variables aléatoires constantes. Et sur un espace $\Omega$ quelconque où l'on a une suite de variables aléatoires iid non constantes la probabilité $P$ ne peut avoir aucun atome. Chose qui doit être connue mais que j'ignorais.

    Tout ça pour dire qu'il va falloir que je reprenne mes notes de cours.

  • Hum, Foys, $Y(\Omega)$ n'est pas forcément mesurable, non ? Et Renart, les singletons ne sont pas forcément mesurables, non ?
  • Bonjour Georges: si tu fais référence à mon premier message, $Y(\Omega)$ est mesurable car c'est une partie dénombrable de $[0,1]$.
  • Modifié (18 Nov)
    Georges Abitbol :

    Pour le premier paragraphe de ma réponse à Foys j'ai bien le droit de supposer $\{\omega\}$ mesurable puisque je me place sur $(\Omega, \mathcal P(\Omega), P)$ (où $\mathcal P(\Omega)$ est l'ensemble des parties de $\Omega$) dès le début du topic. C'est justement ce qui m'a poussé à considérer des univers $\Omega$ dénombrable, les questions de mesurabilité disparaissent presque d'eux-même.

    Pour le second paragraphe de ma réponse à Foys je dis que $P$ ne peut pas contenir d'atomes, ce qui revient à dire "si $\{\omega\}$ est mesurable alors $P(\omega)=0$". Mais peut-être qu'on utilise pas la même définition d'atome ?   
  • Modifié (18 Nov)
    @Foys : Ben oui, pardon.
    @Renart : Pour moi, un atome, c'est une partie $A$ mesurable de mesure non nulle $a$ telle que toute sous-partie de $A$ qui est mesurable est de mesure $0$ ou $a$.
  • Il n'y a pas de quoi s'excuser ;)

    Je viens de faire une recherche google, la notion d'atome est plus générale que ce que je croyais. Un atome d'une mesure $\mu$ est un ensemble (mesurable) $B$ tel que $\mu(B) >0$ et tout sous ensemble stricte mesurable de $B$ est de mesure nulle. Évidemment un singleton de mesure non nulle est un atome. Ma remarque faite dans le second paragraphe de ma réponse à Foys tient toujours, si $B$ est un atome alors $B \subset X_n^{-1}(A)$ presque sûrement ou $B \subset X_n^{-1}(A^C)$ presque sûrement et ainsi $P(B) =0$ ce qui est absurde.

    Question subsidiaire du coup. Que se passe-t-il si $\Omega$ est dénombrable, que les $X_n$ sont iid mais que la tribu n'est plus $\mathcal P(\Omega) $ ? J'ai l'impression que la méthode de Foys permet de répondre mais pas la mienne. Je n'y ai réfléchis que 2 minutes ceci dit et je dois quitter le forum donc peut-être que je raconte n'importe quoi ou que la question est sans intérêts !
  • Modifié (18 Nov)
    Dans ces développements, on perd parfois de vue le fait que conceptuellement $\Omega$ ne sert à rien, sinon à permettre une construction formelle.
    La notion clé dont les exposés probabilistes ont vocation à décrire les propriétés, c'est la loi (mesure image) de la variable aléatoire $X$.

    Lorsqu'on dit que l'on étudie une suite $(X_n)_{n\in \N}$ de variables aléatoires iid, définies sur un univers $(\Omega,\mathcal A,P)$ et à valeurs dans un espace mesurable $(E,\mathcal B )$, ce qu'on fait en réalité est d'étudier l'espace produit $\left ( E^{\N}, \mathcal A, \mu\right )$ où $\mu$ est la "mesure produit des mesures $\ell_X$" avec, pour tout $F\in \mathcal B$, $\ell_X(F)=X_1^{-1}\left (F\right )$.

    L'existence de mesures produits est donnée par des théorèmes d'analyse (par exemple supposons que $(E_n)_{n \in \N}$ est une famille d'espaces compacts et pour tout $n$, $\mu_n$ et une mesure borélienne de probabilité sur $E_n$. Soit $\pi_k: x \in \prod_{n\in \N} E_n \mapsto (x_0,x_1,...,x_k)\in \prod_{i=0}^k E_i$. Soit $A$ l'ensemble de toutes les applications continues de $ \prod_{n\in \N} E_n$ dans $\R$ qui ne dépendent que d'un nombre fini de variables i.e. de la forme $f \circ \pi_n$ avec $n\in \N$ et $f\in C^0\left ( \prod_{i=0}^n E_i, \R\right )$. $A$ est une sous-algèbre de $C^0\left ( \prod_{i=0}^{+\infty} E_i,\R\right) $ dont le théorème de Stone-Weierstrass entraîne qu'elle est dense et d'autre part l'application qui à $u = v \circ \pi_n \in A$ associe $\int_{E_0 \times ... \times E_n} v d\mu_0 d\mu_1 ... d\mu_n$ est bien définie -l'expression ne dépend pas de $n$- et constitue sur $A$, puis induit sur tout $C^0\left (\prod_{n=0}^{\infty} E_n,\R \right)$, une forme linéaire positive qui est d'après le théorème de Riesz, l'intégrale sous une certaine mesure borélienne $\mu$, qui est la mesure produit cherchée.

    Le raisonnement ci-desus se généralise sans pratiquement rien changer pour montrer l'existence de mesures sur la limite projective d'un système projectif d'espaces compacts probabilisés; bref la catégorie des espaces probabilisés compacts possède des limites projectives).

    Par exemple l'étude des "suites de piles ou faces avec une pièce non truquée" n'est, du point de vue des mathématiques, rien d'autre que ... l'étude de $\{0,1\}^{\N}$, muni de la mesure produit des mesures uniformes.

    Les notations probabilistes (avec "X variable aléatoire" etc) ont surtout pour intérêt de permettre de manier les concepts dans les calculs: la suite de VA $(X_n)_{n\in \N}$ peut apparaître de façon pratique dans des formules calculatoires, sa contrepartie avec des mesures engendrerait trop de lourdeurs.

    Pour en revenir au sujet: peut-être que $\Omega$ ne contient pas de singletons mesurables mais ce n'est pas grave, ce qui compte c'est leur existence dans l'espace produit qui va être en pratique un produit dénombrables d'ensembles finis ou de parties de $\R$ muni de la tribu borélienne du produit des topologies naturelles sur les facteurs. Et sur ce produit, chaque singleton est mesurable et donc les parties dénombrables de cet espace sont aussi mesurables, donc en particulier l'image de la famille de variables aléatoires et des diverses constructions sur elles.
  • Ah et pourquoi le point de vue évoqué ci-dessus est vraiment général?

    Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré avec $\mu$ une mesure de probabilité. Existe-t-il un autre espace probabilisé $(\Omega,\mathcal A,P)$ et une variable aléatoire $X:\Omega \to E$ dont la loi est égale à $\mu$?
    Bien sûr! Il suffit de prendre $\Omega:=E$ lui-même et pour $X$, la fonction identité.
  • Modifié (23 Nov)
    Merci pour ton message Foys, pour que ce soit plus clair j'y répondrai séparément.
    Revenons à nos moutons : si la tribu n'est plus $\mathcal P(\Omega)$ est-ce qu'une suite de variables iid non constantes existe ? La démonstration de Foys indique que oui, et après réflexion je ne vois pas comment conclure avec ma méthode, ce qui me chafouine un peu je dois l'avouer. Je ne suis pas sûr de bien comprendre la raison profonde de cette différence.
    Bon mais ma démonstration montre que si cette suite iid existe alors $\mathbb P$ n'admet pas d'atome, il suffirait donc de démontrer que sur un espace probabilisé dénombrable il y a toujours au moins un atome. Je propose donc la...
    Devinette N°2 :
    Soit $(\Omega, T, \mathbb P)$ un espace probabilisé dénombrable, $\mathbb P$ possède-t-elle forcément un atome ?
    Devinette N°2.1 :
    Soit $\Omega$ un ensemble dénombrable et $T$ une tribu sur $\Omega$. Est-ce que $T$ contient une partie finie et non vide de $\Omega$ ?
    Si la réponse à la question 2.1 est oui alors la réponse à la question 2 est aussi oui.  J'ai un peu cherché mais pour l'instant je n'ai pas de réponse, je partage donc avec vous.
  • Euh, la tribu grossière ?
  • Modifié (23 Nov)
    Pour la devinette n°2, on choisit $\Omega=\N$, et $T$ la tribu engendrée par les parties de la forme $E_{a,n}=\{a+2^nb | b \in \N\}$ avec $n \in \N$ et $0 \leq a<2^n$. On choisit $P(E_{a,n})=1/2^n$. Est-ce que c'est un contre-exemple ? Il me semble qu'il n'y a pas d'atome.
  • Modifié (26 Nov)
    Bonjour,
    Je ne suis pas sûr d'avoir compris tout ce qui a déjà été fait. Foys a démontré qu'un espace probabilisé dénombrable ne possède pas de suite infinie de variables de Bernoulli indépendantes [édit : de paramètre $\frac12$], mais il n'a pas démonté la non existence sur un tel espace de n'importe quelle suite iid, non ? Il a juste donné une condition suffisante pour la non existence dans son deuxième message.
    De plus, son troisième message montre l'existence sur un espace dénombrable d'une suite de variables indépendantes, mais pas iid il me semble.
  • Modifié (24 Nov)
    Pour la devinette n°2, je réponds oui.
    Commençons par montrer que pour tout $\omega\in\Omega$ il existe $A_\omega\in T$ minimal contenant $\omega$. Soit $\omega\in\Omega$. On pose $A = \bigcap_{B\in T, B\ni \omega} B$. Alors pour tout $\varpi\in A^c$, il existe $B_\varpi \in T$ tel que $\omega\in B_\varpi$ et $\varpi \not\in B_\varpi$. Donc $A = \bigcap_{\varpi\in A^c} B_\varpi$. Cette intersection est dénombrable, donc $A\in T$. Ok.
    Ensuite, si on pose $\mathcal{A} = \{A_\omega\mid\omega\in\Omega\}$, on a $1=\Bbb P(\Omega) = \sum_{A\in\cal A} \Bbb P(A)$ (*), donc $\exists A\in \mathcal{A}, \Bbb P(A)>0$. Et ce $A$ est un atome car : $\forall B\in T, B\subset A \Rightarrow B=\varnothing \text{ ou }B=A$.

    (*) Edit : car $\mathcal A$ est une partition de $\Omega$
  • Modifié (23 Nov)
    Pour la devinette n°2.1, je réponds non. Un contre-exemple est donné par $\Omega = \Bbb N^2$ et la tribu $\mathcal{P}(\Bbb N) \otimes \{\varnothing,\Bbb N\}$.

    Edit : La tribu grossière de bisam est un exemple plus simple (je n'avais pas compris au début à quoi il répondait). Disons que mon exemple autorise l'existence de v.a. non constantes, donc, dans le contexte du fil, ça n'est pas complètement inintéressant.
  • Modifié (26 Nov)
    marco, je crois qu'il y a un problème dans ton exemple. Pour tout $k\in\Bbb N$, $\{k\} = \bigcap_{n\in\Bbb N} E_{(k \mod 2^n),n} \in T$. Et $\Bbb P(\{k\}) \leqslant \inf_{n\in\Bbb N} \Bbb P(E_{(k \mod 2^n),n}) = 0$. Donc $1=\Bbb P(\Bbb N) = \sum_{k\in\Bbb N}\Bbb P(\{k\}) = 0$ aïe.
    En fait, pour un peu mieux voir les choses, tu as défini une mesure de proba qui fonctionnerait bien sur les 2-adiques $\Bbb Z_2$ (en posant $E_{a,n} = \{k\in \Bbb Z_2 \mid k\equiv a \,[2^n]\}$). Elle est équivalente à la mesure d'une suite infinie de variables de Bernoulli iid [édit : de paramètre $\frac12$] via la bijection naturelle $\Bbb Z_2 \cong \{0,1\}^{\Bbb N}$. Et via cette bijection, $\Bbb N$ est envoyé sur les suites de $\{0,1\}^{\Bbb N}$ à support fini, qui sont en nombre dénombrable donc de mesure nulle. Donc ça ne peut pas marcher.
  • Modifié (23 Nov)
    Merci à tous pour vos réponses, je vais lire ça tranquillement.
    Tu as raison Bisam (et Calli aussi), j'ai trop vite formulé ma devinette 2.1... ce n'est pas intéressant.
    Heureux de te voir de retour parmi nous Calli  $:)$
  • En effet, merci Calli. Est-ce que mon exemple convient si on se limite aux unions finies, aux intersections finies, et aux complémentaires ? (Ce n'est plus alors une tribu.)
  • Modifié (24 Nov)
    @Calli: Lorsque les variables aléatoires sont identiquement distribuées, la fonction $f$ de mon deuxième message va être surjective car croissante et sans discontinuité: cela vient de ce que pour tout $t \in \{0,1\}^{\N}$, $P \left (\forall i\in \N, X_i = p_i \right ) = 0$, en effet, $\sum_{k=0}^{+\infty } \min \left \{ P(X_i = 1), P(X_i = 0) \right \} = +\infty (*) $ ce qui entraîne $\prod_{i=0}^{+\infty} P(X_i = p_i)=0$. De façon générale pour des contre exemples, il faudra s'arranger pour avoir une famille de réels sommable dans $(*)$ sauf erreur. Bref aucune suite iid de variables aléatoires réelles (non presque sûrement constantes) n'est définie sur un espace dénombrable.
  • Modifié (24 Nov)
    @marco : je pense que oui. La sous-algèbre* de $\mathcal{P}(\Bbb N)$ engendrée par les $E_{a,n}$ est
    $\mathscr{A}=\big\{\{k\in\Bbb N\mid (k\mod 2^n)\in A\} \mid n\in\Bbb N,\ A\subset [\![0,2^n -1]\!] \big\}$ et cette description explicite semble montrer que $\Bbb P(E_{a,n}):=2^{-n}$ définit correctement sur $\mathscr{A}$ une mesure finiment additive sans atome.

    * algèbre dans le sens d'ensemble de parties stable par unions et intersections finies et passage au complémentaire

    Merci @Foys. Je suis d'accord.
  • Modifié (25 Nov)
    Pour la question "est-ce qu'il existe une suite iid de v.a. non constantes ?", ben...
    Lemme : Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite iid de v.a. non p.s. constantes sur un espace probabilisé quelconque. Alors il existe une partie mesurable $A$ de $\mathbb{R}$ telle que $(\textbf{1}_{A}(X_n))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite iid de v.a. de Bernoulli de paramètre non trivial (sur ce même espace probabilisé).
    Démo : Le seul problème est le "non trivial". Par contraposée, soit $\mu$ la loi des $X_n$ et supposons que pour tout borélien $A$ de $\mathbb{R}$, $\mu(A) \in \{0,1\}$. Alors, soit, pour tout $n$, $A_{n}$ l'unique intervalle dyadique de degré $n$ qui a mesure $1$. Alors la suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante, tous ses éléments sont de $\mu$-mesure $1$, et donc $\mu$ est un Dirac. CQFD
    On a même un tout petit peu mieux.
    Lemme : Si on a une suite de va de Bernoulli iid de paramètre non trivial sur un espace probabilisé, alors il existe une suite de v.a. de Bernoulli iid de paramètre $\frac{1}{2}$ sur ce même espace.
    Démo : On tire les pièces deux par deux : $01$ donne $0$, $10$ donne $1$, et si on tombe sur $00$ ou $11$, on relance. CQFD
    On a encore mieux.
    Lemme : Si on a une suite de Bernoulli iid de paramètre $\frac{1}{2}$, on a une suite iid de v.a. uniformes sur $[0,1]$.
    Démo : On n'a qu'à dire que la suite est une suite de suites, et pour chaque suite, on prend le nombre dont le développement binaire est donné par cette suite.
    Hum... Foys dit que c'est en fait possible ? Bon, je poste et je relis après...
    EDITS : Je crois que dans l'exemple "pahologique" de Foys, les v.a. ne sont pas iid, juste indépendantes : c'est des v.a. de Bernoulli de paramètres de plus en plus petits. + Un peu de style.
    PS. J'ai conscience qu'il y a des redites avec des trucs dit précédemment (notamment par Foys) mais je me suis dit que ça valait le coup de bien mettre tout en évidence.
  • Modifié (25 Nov)
    Je me permets également de paraphraser ce que dit Calli afin de mettre des mots sur quelque chose que Renart ne savait peut-être pas (excuse-moi si ce n'est pas le cas) ou ne s'en souvenait plus, au vu de ses devinettes. D'ailleurs, je l'avais moi-même oublié.
    Théorème : Soit $X$ un ensemble dénombrable et $\mathcal{T}$ une tribu sur $X$. Notons $\sim$ la relation d'équivalence sur $X$ "ne pas être distingué/séparé par $\mathcal{T}$", i.e. pour tout couple $(x,y) \in X$, on pose $x\sim y$ si $\forall A \in \mathcal{T},\quad x\in A \Leftrightarrow y \in A$. Alors
    • les classes d'équivalence de $\sim$ sont des éléments de $\mathcal{T}$ ;
    • il n'y a qu'un nombre dénombrable de classes ;
    • tout élément de $\mathcal{T}$ est réunion dénombrable de classes ;
    • la tribu engendrée par les classes est $\mathcal{T}$.
    Démo : Suivre ce que Calli a fait pour le premier point et le reste est laissé en exo.

    Corollaire : Soit $X$ un ensemble dénombrable et $\mathcal{T}$ une tribu sur $X$. Alors
    • les atomes mesurables (terme momentané pour désigner des éléments non vides minimaux de $\mathcal{T}$) de $\mathcal{T}$ sont les classes de la relation d'équivalence de ci-dessus ;
    • si $\mathbb{P}$ est une probabilité sur $\mathcal{T}$, alors $\mathbb{P}$ a un atome probabiliste (i.e. une partie mesurable qui ne possède aucun sous-ensemble mesurable de mesure strictement inférieure et non nulle).
    Démo : Le premier point est évident, et le deuxième presque : $X$ est réunion dénombrable des classes d'équivalence, donc il y en a au moins une qui est de mesure non nulle, et qui est alors un atome.
  • @Calli : d'accord, merci.
  • Modifié (25 Nov)
    Bon j'ai tout lu, merci à tous.
    J'avais essayé de partir comme Calli sans réaliser que l'intersection $A = \bigcap_{B\in T, B\ni \omega} B$ pouvait être prise dénombrable (car $\Omega$ l'est aussi) et que donc $A$ était dans la tribu.
    Pour ceux qui voudraient un résumé (de plus). 
    -Suite de variables aléatoires iid non constantes (presque sûrement) $\implies$ $\mathbb P$ est sans atome (cf messages 1 et 2).
    -$\Omega$ est dénombrable $\implies$ $\mathbb P$ possède un atome (cf ce message).
    On en déduit donc qu'un espace probabilisé dénombrable ne peut donner naissance à une suite de variables aléatoires iid non constantes presque sûrement. En adaptant un tout petit peu ce qui est raconté dans les messages précédents on peut montrer que si $(X_n)_n$ est une suite de variables aléatoires indépendantes sur un  espace probabilisé dénombrable alors il existe une suite $(Y_n)_n$ de variables aléatoires constantes telles que $(X_n-Y_n)_n$ converge en probabilité ver $0$. Foys montre dans ce message qu'une telle suite $(X_n)_n$ peut être constituée entièrement de variables aléatoires non constantes presque sûrement. N'oublions pas de citer la solution astucieuse de Foys à ma première devinette (ici et ) par une autre méthode.
    George Abitbol : disons que je m'en souvenais (c'est la même technique pour montrer qu'une tribu infinie dénombrable n'existe pas) mais que j'avais oublié de faire le lien ! Merci pour la piqure de rappel $;)$.
  • Modifié (25 Nov)
    Foys : Je réponds (enfin) à ce long message.
    Je suis principalement d'accord avec ce que tu racontes, avec quelques réserves tout de même. Déjà il s'agissait d'un cours pour deuxième année, et avec peu d'heures allouées. Il est donc évident que je n'allais pas utiliser le théorème de Riesz pour expliquer l'existence d'une mesure naturelle sur $E^\N$ ! Mais je crois que ce n'est pas ce que tu suggérais de toute façon et du point de vue mathématique je suis parfaitement d'accord avec toi.
    En revanche j'ai l'impression que ce brave $\Omega$ possède d'autres qualités que de permettre une construction théorique de lois et autres objets associés. Ceci étant dit je ne suis pas un probabiliste professionnel donc je peux me tromper. Mais les lois ne sont pas suffisantes pour décrire la convergence en probabilité ou presque sûre, ce qui intéresse aussi les probabilistes je crois. Ensuite pour des problèmes concrets l'espace $\Omega$ peut avoir une signification que l'on souhaite conserver. Le problème de la convergence en loi étant qu'elle efface complétement $\Omega$. Deux variables aléatoires peuvent avoir une même loi mais pas grand chose d'autre en commun. Si le nombre d'appels reçus à la CAF de Paris suit la même loi que les arrivées de bateaux dans le port de  Hambourg je ne suis pas certain de savoir ce que cela implique concrètement pour la CAF de Paris ou le port de Hambourg.
    En tout cas merci pour tes interventions toujours instructives.
  • On a même un tout petit peu mieux.
    Lemme : Si on a une suite de va de Bernoulli iid de paramètre non trivial sur un espace probabilisé, alors il existe une suite de v.a. de Bernoulli iid de paramètre $\frac{1}{2}$ sur ce même espace.
    Bien vu ! Je n'y avais pas pensé.
    Ça me fait penser que j'ai oublié de préciser "de paramètre $\frac12$" à chaque fois que parlais de Bernoulli de paramètre $\frac12$. Je vais le rajouter.

    Et reformuler ce que j'ai dit avec une relation d'équivalence n'est pas inutile ; c'est plus clair comme ça à mon ais. Au début, j'avais carrément oublié de préciser que les atomes mesurables forment une partition, alors que c'est un point crucial ! [smiley alcoolique (qui n'est malheureusement plus disponible)] C'était une erreur de ma part, que j'ai corrigée.
  • EDITS : Je crois que dans l'exemple "pathologique" de Foys, les v.a. ne sont pas iid, juste indépendantes : c'est des v.a. de Bernoulli de paramètres de plus en plus petits. + Un peu de style.
    Oui je l'ai aussi dit, mais Foys n'a pas réagi (il n'a probablement pas vu la coquille). @Foys, ce serait bien de corriger ; c'est là dans ton troisième message :
    Foys a dit :
    Il y a un exemple où ce n'est pas le cas (et donc il y a une suite iid sur un ensemble dénombrable mais elle est plutôt "pathologique")
  • @tous: je ne vous oublie pas, j'étais juste très occupé toute la journée. Merci Calli et Georges pour cette coquille signalée.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!