Plans et droites

Piteux_gore

Bonjour,

On se donne deux plans $(P), (P')$ et une droite $(\Delta )$.
Conditions pour que l'on puisse faire passer par  $(\Delta )$ un plan perpendiculaire à l'intersection de $(P)$ et $(P')$ ?

A+

gai requin

J'ai essayé de trouver une condition compréhensible pour un élève de Terminale.

Soit $\vec u$ un vecteur directeur de $(\Delta)$ et $\vec {n\phantom{'}},\,\vec{n'}$ des vecteurs normaux à $(P),(P')$ respectivement.

Alors un tel plan existe ssi $\vec {u\phantom{'}},\,\vec {n\phantom{'}},\,\vec{n'}$ sont coplanaires.

GG

L'angle de deux droites est l'angle que fait l'une avec la parallèle à l'autre menée depuis un point de la première. Cet angle est indépendant du choix de la première droite et du point.

Une droite est contenue dans un plan perpendiculaire à une seconde droite si et seulement si les deux droites font un angle droit.

Piteux_gore

RE
Le conditions (pluriel) est un peu déroutant, car je n'en vois qu'une de condition : l'orthogonalité des deux droites, le plan perpendiculaire étant défini par l'une des deux droites et par la perpendiculaire commune
A+

gai requin

La perpendiculaire commune ?

Et si les plans sont parallèles ou confondus ?

Piteux_gore

RE

Je viens de m'apercevoir que l'exercice figurait dans une section Géométrie analytique, de sorte que l'on devait attendre du candidat une solution analytique.
Une piste
L'intersection $(D)$ de $(P), (P')$ peut être définie comme intersection de deux plans perpendiculaires $(Q), (Q')$ appartenant au faisceau $(P, P')$, de sorte que $(D)$ est dirigée par le produit vectoriel des vecteurs normaux à $(Q), (Q')$.
Le vecteur directeur (connu) de $(\Delta )$ doit être orthogonal à celui de $(D)$, etc.

A+

gai requin

Nécessairement, $\vec{\Delta\phantom{'}}\subset\big(\vec {P\phantom{'}}\cap\vec{P'}\big)^\perp=\vec {P\phantom{'}}^\perp+\vec{P'}^\perp$ donc, avec mes notations, on obtient que $\vec {u\phantom{'}},\,\vec {n\phantom{'}},\,\vec{n'}$ sont coplanaires.

On montre ensuite que cette condition est suffisante...

Piteux_gore

RE,
Effectivement je pense que la solution de Gai Requin est celle que l'on attendait du candidat, avec traduction en déterminant, etc.
A+