Ensemble connexe par arcs exemples
Bonjour,
Dans mon livre, il est donné en exemple qu'un sous-espace affine d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs et que tout espace vectoriel normé est connexe par arcs.
Je n'arrive pas à la démontrer.
$A \subset E$ est un sous-espace affine de $E$ s'il $A$ est vide ou s'il existe $a \in E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $A=a+F$.
Soient $x,y$ deux éléments quelconques de $A$. On doit montrer qu'ils sont reliés par un chemin dans $A$. Ainsi, on a $x=a+x_1$ et $y=a+x_2$ où $(x_1,x_2) \in F^2$.
Après je bloque.
Dans mon livre, il est donné en exemple qu'un sous-espace affine d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs et que tout espace vectoriel normé est connexe par arcs.
Je n'arrive pas à la démontrer.
$A \subset E$ est un sous-espace affine de $E$ s'il $A$ est vide ou s'il existe $a \in E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $A=a+F$.
Soient $x,y$ deux éléments quelconques de $A$. On doit montrer qu'ils sont reliés par un chemin dans $A$. Ainsi, on a $x=a+x_1$ et $y=a+x_2$ où $(x_1,x_2) \in F^2$.
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Réponses
Raoul.S je crois avoir trouvé. Je considère $p(t)=a+tx_1 +(1-t)x_2$ définie sur $[0,1]$. Montrons que $p$ est à valeurs dans $A$.
Soit $t \in [0,1]$. Comme $x_1$ et $x_2$ sont des éléments de $F$ et $F$ est un sous-espace vectoriel alors il est stable et $t x_1 + (1-t)x_2 \in F$. Ainsi $p(t) \in A$
On a directement $p(0)=a+x_2=y$ et $p(1)=a+x_1=x$ ce qui permet de conclure.
Si on prend $E$ un espace vectoriel normé, je ne saisis pas à quoi sert l'hypothèse "normé" pour la convexité ?
à rien.
Par contre dans ton exo il s'agissait de montrer que l'espace est connexe par arcs et dans la définition de "connexe par arcs" on demande que les chemins soient continus.
Donc il te reste à vérifier que ton chemin $p$ est une application continue de $[0,1]$ dans $A$.
Soit $(t_n)$ une suite d'éléments de $[0,1]$ qui converge vers $t$. Montrons que $f(t_n)=a+ t_n x_1 + (1-t_n)x_2$ converge vers $f(t)$
Comme $t_n \longrightarrow t$ alors $a+ t_n x_1 + (1-t_n) x_2 \longrightarrow a+ t x_1 +(1-t)x_2 = f(t)$
Par caractérisation séquentielle, $p$ est continue sur $[0,1]$. Elle est même continue sur $\R$.