La décomposition orthogonale

brock

Salut, svp  j'ai trouvé un probléme dans cette question.

Soit $B$ une algèbre de Lie abélienne euclidienne plate de dimension ${n}$.   Supposons que $\xi$ est nilpotent. Il existe donc $q \leq \dim B$ tel que $$ \{0\} \neq \ker \xi \varsubsetneqq \ker \xi^{2} \varsubsetneqq \cdots \varsubsetneqq \ker \xi^{q}=B .$$ Ensuite, nous avons la décomposition orthogonale : $$ B=\bigoplus_{k=0}^{q-1} F_{k} ,$$  où $F_{0}=\ker \xi$ et, pour tout $k=1, \ldots, q-1,\ F_{k}=\ker \xi^{k+1} \cap\left(\ker \xi^{k}\right)^{\perp} .$  Question. Montrons que pour tout $1 \leq k \leq q-1$, nous avons $$ \dim F_{k} \leq \dim \ker \xi^{j}, \quad j=1, \ldots, k+1 $$

[$\LaTeX$ fournit les commandes \dim et \ker. AD]

gerard0

Question posée sur plusieurs forums, par exemple https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/914606-decomposition-orthogonale.html