Algèbre de Lie

PetiteTaupe

Bonsoir, soit $F$ une algèbre de Lie de dimension 2, telle qu'il existe $u_0 \in F$ et $v_0 \in F$ vérifiant $[u_0,v_0] \neq 0$. Soit d'autre part $F'$ une seconde algèbre de Lie de dimension 2 possédant la même propriété. Pourriez-vous m'aider à démontrer qu'il existe un isomorphisme $\phi$ d'espaces vectoriels de $F$ sur $F'$ tel que $\phi([u,v]) = [\phi(u), \phi(v)]$ quels que soient $u \in F$ et $v \in F$ s'il-vous-plaît ?
On définit $[u,v] = u \circ v - v \circ u$ et un idéal de $F$ comme un sous-espace vectoriel $I$ de $F$ tel que $[u,v] \in I$ quels que soient $u \in F$ et $v \in I$.
Merci d'avance

Math Coss

Si le crochet n'est pas nul, il vaut $[u_0,v_0]=au_0+bv_0$ avec $a$ ou $b$ non nul. Quitte à permuter, on suppose que $a\ne0$. On pose $u_1=au_0+bv_0$, alors $[u_1,v_0]=au_1$. On pose $v_1=\frac1av_0$, si bien que $[u_1,v_1]=u_1$. C'est fini, n'est-ce pas ?