Fonction uniformément dérivable ?
Bonsoir.
J'ai vu passer dans un message cette notion de « fonction uniformément dérivable », mais je n'arrive pas à retrouver ce message car je ne maîtrise pas les subtilités de la nouvelle présentation du forum. Sans être omniscient, je ne suis sans doute pas parmi les plus ignorants, et pourtant je ne connais pas cette notion. J'en ai parlé ce matin avec un copain, agrégé, professeur de Math. Spé et membre du jury d'une Grande École, et il ne connaît pas non plus. Une recherche sur Internet en français donne trois publications où cette notion est utilisée mais non définie. Une recherche sur « uniformly differentiable » donne de meilleurs résultats, et il me semble qu'on a la définition suivante.
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie.
Cette fonction $f$ est uniformément dérivable sur $I$ s'il existe une fonction $g:I\rightarrow E$ telle que :
$$\forall \varepsilon >0,\ \exists \eta >0,\ \forall x\in I,\ \forall y\in I,\quad 0<\left\vert x-y\right\vert \leq \eta\ \Longrightarrow\ \left\Vert \frac{ f(x)-f(y)}{x-y}-g(x)\right\Vert \leq \varepsilon .$$ Une telle fonction $f$ est nécessairement de classe $\mathcal{C}^{1}$, avec bien sûr $f^{\prime }=g$.Réciproquement, si $I$ est un segment, une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ est uniformément dérivable.
J'espère que c'est la bonne définition. J'avais ceci dans une feuille d'exercices que j'avais faite pour mes élèves de Math. Spé. en 1995-96 (avec ChiWriter !), mais sans l'appellation « uniformément dérivable ».
Pour ma part, lorsque je fais référence à une notion peu connue, je fais l'effort de la définir, afin que mon message soit intelligible par les usagers du forum. Notre rôle est d'éclairer, pas d'éblouir.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
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Réponses
Un autre critère intéressant est le suivant: une fonction $f:I\to E$ est de classe $C^1$ si et seulement si il existe une fonction continue $g: I^2 \to E$ dont la restriction à $I^2 \setminus \{(x,x) \mid x \in I\}$ est égale à $(x,y) \mapsto \frac {f(x) - f(y)}{x-y}$.
Il est d'abord clair que $f$ est dérivable et que $f^{\prime }=g$.